Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56260 / 43330
↖ ↑ ↗
← N 51.940879°
W 25.477295°		 ← 188.29 m → N 51.940879°
W 25.474548°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 51.939186°
W 25.477295°		 ← 188.29 m →
35 448 m²		 N 51.939186°
W 25.474548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429233551025391 y=0.330585479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429233551025391 × 217)
    floor (0.429233551025391 × 131072)
    floor (56260.5)     		tx = 56260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330585479736328 × 217)
    floor (0.330585479736328 × 131072)
    floor (43330.5)     		ty = 43330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56260 / 43330 ti = "17/56260/43330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56260/43330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56260 ÷ 217
    56260 ÷ 131072     		x = 0.429229736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43330 ÷ 217
    43330 ÷ 131072     		y = 0.330581665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429229736328125 × 2 - 1) × π
    -0.14154052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44466268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330581665039062 × 2 - 1) × π
    0.338836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06448679296297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44466268} λ = -0.44466268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06448679296297))-π/2
    2×atan(2.89935063502798)-π/2
    2×1.238667837472-π/2
    2.47733567494399-1.57079632675     		φ = 0.90653935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44466268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90653935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.940879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56260 KachelY 43330 -0.44466268 0.90653935 -25.477295 51.940879
    Oben rechts KachelX + 1 56261 KachelY 43330 -0.44461474 0.90653935 -25.474548 51.940879
    Unten links KachelX 56260 KachelY + 1 43331 -0.44466268 0.90650980 -25.477295 51.939186
    Unten rechts KachelX + 1 56261 KachelY + 1 43331 -0.44461474 0.90650980 -25.474548 51.939186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90653935-0.90650980) × R
    2.95499999999338e-05 × 6371000     		dl = 188.263049999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90653935-0.90650980) × R
    2.95499999999338e-05 × 6371000     		dr = 188.263049999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44466268--0.44461474) × cos(0.90653935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616474265015981 × 6371000     		do = 188.287108583339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44466268--0.44461474) × cos(0.90650980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616497531679762 × 6371000     		du = 188.294214821341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90653935)-sin(0.90650980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616474265015981-0.616497531679762)×R²
    abs(-0.44461474--0.44466268)×2.32666637810519e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32666637810519e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32666637810519e-05×40589641000000     		ar = 35448.174261226m²