Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5626 / 9779
↖ ↑ ↗
← S 32.898038°
W 56.381836°		 ← 2 051.47 m → S 32.898038°
W 56.359863°		 →
↑
2 051.27 m
↓
↑
2 051.27 m
↓
S 32.916485°
W 56.381836°		 ← 2 051.04 m →
4 207 684 m²		 S 32.916485°
W 56.359863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343414306640625 y=0.596893310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343414306640625 × 214)
    floor (0.343414306640625 × 16384)
    floor (5626.5)     		tx = 5626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596893310546875 × 214)
    floor (0.596893310546875 × 16384)
    floor (9779.5)     		ty = 9779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5626 / 9779 ti = "14/5626/9779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5626/9779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5626 ÷ 214
    5626 ÷ 16384     		x = 0.3433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9779 ÷ 214
    9779 ÷ 16384     		y = 0.59686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98404868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.1937255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.608606877576233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98404868} λ = -0.98404868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608606877576233))-π/2
    2×atan(0.544108350864105)-π/2
    2×0.498308621546841-π/2
    0.996617243093683-1.57079632675     		φ = -0.57417908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98404868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57417908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.898038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5626 KachelY 9779 -0.98404868 -0.57417908 -56.381836 -32.898038
    Oben rechts KachelX + 1 5627 KachelY 9779 -0.98366518 -0.57417908 -56.359863 -32.898038
    Unten links KachelX 5626 KachelY + 1 9780 -0.98404868 -0.57450105 -56.381836 -32.916485
    Unten rechts KachelX + 1 5627 KachelY + 1 9780 -0.98366518 -0.57450105 -56.359863 -32.916485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57417908--0.57450105) × R
    0.000321970000000005 × 6371000     		dl = 2051.27087000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57417908--0.57450105) × R
    0.000321970000000005 × 6371000     		dr = 2051.27087000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98404868--0.98366518) × cos(-0.57417908) × R
    0.000383499999999981 × 0.839638464457 × 6371000     		do = 2051.4706079807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98404868--0.98366518) × cos(-0.57450105) × R
    0.000383499999999981 × 0.839463544319285 × 6371000     		du = 2051.043229369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57417908)-sin(-0.57450105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839638464457-0.839463544319285)×R²
    abs(-0.98366518--0.98404868)×0.000174920137715473×R²
    0.000383499999999981×0.000174920137715473×6371000²
    0.000383499999999981×0.000174920137715473×40589641000000     		ar = 4207683.60051253m²