Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56259 / 86954
↖ ↑ ↗
← S 50.586724°
W 25.480042°		 ← 193.92 m → S 50.586724°
W 25.477295°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
S 50.588468°
W 25.480042°		 ← 193.91 m →
37 594 m²		 S 50.588468°
W 25.477295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429225921630859 y=0.663410186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429225921630859 × 217)
    floor (0.429225921630859 × 131072)
    floor (56259.5)     		tx = 56259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663410186767578 × 217)
    floor (0.663410186767578 × 131072)
    floor (86954.5)     		ty = 86954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56259 / 86954 ti = "17/56259/86954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56259/86954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56259 ÷ 217
    56259 ÷ 131072     		x = 0.429222106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86954 ÷ 217
    86954 ÷ 131072     		y = 0.663406372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429222106933594 × 2 - 1) × π
    -0.141555786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44471062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663406372070312 × 2 - 1) × π
    -0.326812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02671251606236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44471062} λ = -0.44471062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02671251606236))-π/2
    2×atan(0.35818254651884)-π/2
    2×0.343945714062782-π/2
    0.687891428125564-1.57079632675     		φ = -0.88290490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44471062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.480042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88290490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.586724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56259 KachelY 86954 -0.44471062 -0.88290490 -25.480042 -50.586724
    Oben rechts KachelX + 1 56260 KachelY 86954 -0.44466268 -0.88290490 -25.477295 -50.586724
    Unten links KachelX 56259 KachelY + 1 86955 -0.44471062 -0.88293533 -25.480042 -50.588468
    Unten rechts KachelX + 1 56260 KachelY + 1 86955 -0.44466268 -0.88293533 -25.477295 -50.588468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88290490--0.88293533) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88290490--0.88293533) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44471062--0.44466268) × cos(-0.88290490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63490953969786 × 6371000     		do = 193.917715995376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44471062--0.44466268) × cos(-0.88293533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634886029597175 × 6371000     		du = 193.910535405476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88290490)-sin(-0.88293533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63490953969786-0.634886029597175)×R²
    abs(-0.44466268--0.44471062)×2.35101006853533e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35101006853533e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35101006853533e-05×40589641000000     		ar = 37594.0404126933m²