Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56259 / 43329
↖ ↑ ↗
← N 51.942572°
W 25.480042°		 ← 188.28 m → N 51.942572°
W 25.477295°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 51.940879°
W 25.480042°		 ← 188.29 m →
35 447 m²		 N 51.940879°
W 25.477295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429225921630859 y=0.330577850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429225921630859 × 217)
    floor (0.429225921630859 × 131072)
    floor (56259.5)     		tx = 56259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330577850341797 × 217)
    floor (0.330577850341797 × 131072)
    floor (43329.5)     		ty = 43329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56259 / 43329 ti = "17/56259/43329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56259/43329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56259 ÷ 217
    56259 ÷ 131072     		x = 0.429222106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43329 ÷ 217
    43329 ÷ 131072     		y = 0.330574035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429222106933594 × 2 - 1) × π
    -0.141555786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44471062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330574035644531 × 2 - 1) × π
    0.338851928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.06453472986259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44471062} λ = -0.44471062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06453472986259))-π/2
    2×atan(2.89948962423966)-π/2
    2×1.23868261312566-π/2
    2.47736522625132-1.57079632675     		φ = 0.90656890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44471062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.480042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90656890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.942572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56259 KachelY 43329 -0.44471062 0.90656890 -25.480042 51.942572
    Oben rechts KachelX + 1 56260 KachelY 43329 -0.44466268 0.90656890 -25.477295 51.942572
    Unten links KachelX 56259 KachelY + 1 43330 -0.44471062 0.90653935 -25.480042 51.940879
    Unten rechts KachelX + 1 56260 KachelY + 1 43330 -0.44466268 0.90653935 -25.477295 51.940879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90656890-0.90653935) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90656890-0.90653935) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44471062--0.44466268) × cos(0.90656890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.616450997813893 × 6371000     		do = 188.280002181141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44471062--0.44466268) × cos(0.90653935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.616474265015981 × 6371000     		du = 188.287108583557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90656890)-sin(0.90653935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616450997813893-0.616474265015981)×R²
    abs(-0.44466268--0.44471062)×2.32672020878955e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32672020878955e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32672020878955e-05×40589641000000     		ar = 35446.8364036583m²