Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56255 / 14250
↖ ↑ ↗
← N 80.218923°
W 25.491028°		 ← 51.89 m → N 80.218923°
W 25.488281°		 →
↑
51.86 m
↓
↑
51.86 m
↓
N 80.218456°
W 25.491028°		 ← 51.89 m →
2 691 m²		 N 80.218456°
W 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429195404052734 y=0.108722686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429195404052734 × 217)
    floor (0.429195404052734 × 131072)
    floor (56255.5)     		tx = 56255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108722686767578 × 217)
    floor (0.108722686767578 × 131072)
    floor (14250.5)     		ty = 14250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56255 / 14250 ti = "17/56255/14250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56255/14250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56255 ÷ 217
    56255 ÷ 131072     		x = 0.429191589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14250 ÷ 217
    14250 ÷ 131072     		y = 0.108718872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429191589355469 × 2 - 1) × π
    -0.141616821289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44490237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108718872070312 × 2 - 1) × π
    0.782562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4584918339142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44490237} λ = -0.44490237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4584918339142))-π/2
    2×atan(11.687172045163)-π/2
    2×1.48544032563585-π/2
    2.97088065127169-1.57079632675     		φ = 1.40008432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44490237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.491028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40008432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.218923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56255 KachelY 14250 -0.44490237 1.40008432 -25.491028 80.218923
    Oben rechts KachelX + 1 56256 KachelY 14250 -0.44485443 1.40008432 -25.488281 80.218923
    Unten links KachelX 56255 KachelY + 1 14251 -0.44490237 1.40007618 -25.491028 80.218456
    Unten rechts KachelX + 1 56256 KachelY + 1 14251 -0.44485443 1.40007618 -25.488281 80.218456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40008432-1.40007618) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dl = 51.8599400002888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40008432-1.40007618) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dr = 51.8599400002888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44490237--0.44485443) × cos(1.40008432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169884049174885 × 6371000     		do = 51.8869614334017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44490237--0.44485443) × cos(1.40007618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16989207084669 × 6371000     		du = 51.8894114584487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40008432)-sin(1.40007618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169884049174885-0.16989207084669)×R²
    abs(-0.44485443--0.44490237)×8.02167180477542e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.02167180477542e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.02167180477542e-06×40589641000000     		ar = 2690.91823596709m²