Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56254 / 43438
↖ ↑ ↗
← N 51.757641°
W 25.493774°		 ← 189.02 m → N 51.757641°
W 25.491028°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 51.755941°
W 25.493774°		 ← 189.02 m →
35 730 m²		 N 51.755941°
W 25.491028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429187774658203 y=0.331409454345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429187774658203 × 217)
    floor (0.429187774658203 × 131072)
    floor (56254.5)     		tx = 56254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331409454345703 × 217)
    floor (0.331409454345703 × 131072)
    floor (43438.5)     		ty = 43438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56254 / 43438 ti = "17/56254/43438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56254/43438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56254 ÷ 217
    56254 ÷ 131072     		x = 0.429183959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43438 ÷ 217
    43438 ÷ 131072     		y = 0.331405639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429183959960938 × 2 - 1) × π
    -0.141632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44495030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331405639648438 × 2 - 1) × π
    0.337188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.059309607804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44495030} λ = -0.44495030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.059309607804))-π/2
    2×atan(2.88437894898587)-π/2
    2×1.23706878250916-π/2
    2.47413756501832-1.57079632675     		φ = 0.90334124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44495030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90334124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.757641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56254 KachelY 43438 -0.44495030 0.90334124 -25.493774 51.757641
    Oben rechts KachelX + 1 56255 KachelY 43438 -0.44490237 0.90334124 -25.491028 51.757641
    Unten links KachelX 56254 KachelY + 1 43439 -0.44495030 0.90331157 -25.493774 51.755941
    Unten rechts KachelX + 1 56255 KachelY + 1 43439 -0.44490237 0.90331157 -25.491028 51.755941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90334124-0.90331157) × R
    2.96700000000927e-05 × 6371000     		dl = 189.02757000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90334124-0.90331157) × R
    2.96700000000927e-05 × 6371000     		dr = 189.02757000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44495030--0.44490237) × cos(0.90334124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618989220149189 × 6371000     		do = 189.015804812989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44495030--0.44490237) × cos(0.90331157) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619012522679347 × 6371000     		du = 189.022920520902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90334124)-sin(0.90331157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618989220149189-0.619012522679347)×R²
    abs(-0.44490237--0.44495030)×2.33025301581424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33025301581424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33025301581424e-05×40589641000000     		ar = 35729.8708105463m²