Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56253 / 14249
↖ ↑ ↗
← N 80.219389°
W 25.496521°		 ← 51.88 m → N 80.219389°
W 25.493774°		 →
↑
51.92 m
↓
↑
51.92 m
↓
N 80.218923°
W 25.496521°		 ← 51.89 m →
2 694 m²		 N 80.218923°
W 25.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429180145263672 y=0.108715057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429180145263672 × 217)
    floor (0.429180145263672 × 131072)
    floor (56253.5)     		tx = 56253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108715057373047 × 217)
    floor (0.108715057373047 × 131072)
    floor (14249.5)     		ty = 14249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56253 / 14249 ti = "17/56253/14249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56253/14249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56253 ÷ 217
    56253 ÷ 131072     		x = 0.429176330566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14249 ÷ 217
    14249 ÷ 131072     		y = 0.108711242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429176330566406 × 2 - 1) × π
    -0.141647338867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44499824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108711242675781 × 2 - 1) × π
    0.782577514648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.45853977081382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44499824} λ = -0.44499824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45853977081382))-π/2
    2×atan(11.6877323053846)-π/2
    2×1.48544439739687-π/2
    2.97088879479374-1.57079632675     		φ = 1.40009247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44499824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.496521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40009247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.219389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56253 KachelY 14249 -0.44499824 1.40009247 -25.496521 80.219389
    Oben rechts KachelX + 1 56254 KachelY 14249 -0.44495030 1.40009247 -25.493774 80.219389
    Unten links KachelX 56253 KachelY + 1 14250 -0.44499824 1.40008432 -25.496521 80.218923
    Unten rechts KachelX + 1 56254 KachelY + 1 14250 -0.44495030 1.40008432 -25.493774 80.218923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40009247-1.40008432) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dl = 51.9236499999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40009247-1.40008432) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dr = 51.9236499999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44499824--0.44495030) × cos(1.40009247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16987601763717 × 6371000     		do = 51.8845083950516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44499824--0.44495030) × cos(1.40008432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169884049174885 × 6371000     		du = 51.8869614334017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40009247)-sin(1.40008432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16987601763717-0.169884049174885)×R²
    abs(-0.44495030--0.44499824)×8.03153771558596e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.03153771558596e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.03153771558596e-06×40589641000000     		ar = 2694.09673949228m²