Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56252 / 86961
↖ ↑ ↗
← S 50.598930°
W 25.499268°		 ← 193.87 m → S 50.598930°
W 25.496521°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
S 50.600673°
W 25.499268°		 ← 193.86 m →
37 584 m²		 S 50.600673°
W 25.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429172515869141 y=0.663463592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429172515869141 × 217)
    floor (0.429172515869141 × 131072)
    floor (56252.5)     		tx = 56252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663463592529297 × 217)
    floor (0.663463592529297 × 131072)
    floor (86961.5)     		ty = 86961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56252 / 86961 ti = "17/56252/86961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56252/86961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56252 ÷ 217
    56252 ÷ 131072     		x = 0.429168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86961 ÷ 217
    86961 ÷ 131072     		y = 0.663459777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.14166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44504618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663459777832031 × 2 - 1) × π
    -0.326919555664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.0270480743597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44504618} λ = -0.44504618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0270480743597))-π/2
    2×atan(0.358062375556702)-π/2
    2×0.343839203288301-π/2
    0.687678406576602-1.57079632675     		φ = -0.88311792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44504618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88311792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.598930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56252 KachelY 86961 -0.44504618 -0.88311792 -25.499268 -50.598930
    Oben rechts KachelX + 1 56253 KachelY 86961 -0.44499824 -0.88311792 -25.496521 -50.598930
    Unten links KachelX 56252 KachelY + 1 86962 -0.44504618 -0.88314835 -25.499268 -50.600673
    Unten rechts KachelX + 1 56253 KachelY + 1 86962 -0.44499824 -0.88314835 -25.496521 -50.600673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88311792--0.88314835) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88311792--0.88314835) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44504618--0.44499824) × cos(-0.88311792) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634744948920816 × 6371000     		do = 193.8674457355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44504618--0.44499824) × cos(-0.88314835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63472143470513 × 6371000     		du = 193.860263888773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88311792)-sin(-0.88314835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634744948920816-0.63472143470513)×R²
    abs(-0.44499824--0.44504618)×2.35142156853607e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35142156853607e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35142156853607e-05×40589641000000     		ar = 37584.294419315m²