Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56252 / 29500
↖ ↑ ↗
← N 69.843408°
W 25.499268°		 ← 105.25 m → N 69.843408°
W 25.496521°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.842461°
W 25.499268°		 ← 105.25 m →
11 077 m²		 N 69.842461°
W 25.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429172515869141 y=0.225070953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429172515869141 × 217)
    floor (0.429172515869141 × 131072)
    floor (56252.5)     		tx = 56252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225070953369141 × 217)
    floor (0.225070953369141 × 131072)
    floor (29500.5)     		ty = 29500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56252 / 29500 ti = "17/56252/29500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56252/29500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56252 ÷ 217
    56252 ÷ 131072     		x = 0.429168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29500 ÷ 217
    29500 ÷ 131072     		y = 0.225067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.14166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44504618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225067138671875 × 2 - 1) × π
    0.54986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72745411470834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44504618} λ = -0.44504618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72745411470834))-π/2
    2×atan(5.62631171514361)-π/2
    2×1.39489687884195-π/2
    2.7897937576839-1.57079632675     		φ = 1.21899743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44504618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21899743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.843408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56252 KachelY 29500 -0.44504618 1.21899743 -25.499268 69.843408
    Oben rechts KachelX + 1 56253 KachelY 29500 -0.44499824 1.21899743 -25.496521 69.843408
    Unten links KachelX 56252 KachelY + 1 29501 -0.44504618 1.21898091 -25.499268 69.842461
    Unten rechts KachelX + 1 56253 KachelY + 1 29501 -0.44499824 1.21898091 -25.496521 69.842461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21899743-1.21898091) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21899743-1.21898091) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44504618--0.44499824) × cos(1.21899743) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344587086292822 × 6371000     		do = 105.245765825482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44504618--0.44499824) × cos(1.21898091) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344602594467754 × 6371000     		du = 105.250502421286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21899743)-sin(1.21898091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344587086292822-0.344602594467754)×R²
    abs(-0.44499824--0.44504618)×1.55081749313446e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55081749313446e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55081749313446e-05×40589641000000     		ar = 11077.2524487402m²