Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56252 / 14247
↖ ↑ ↗
← N 80.220322°
W 25.499268°		 ← 51.88 m → N 80.220322°
W 25.496521°		 →
↑
51.86 m
↓
↑
51.86 m
↓
N 80.219856°
W 25.499268°		 ← 51.88 m →
2 691 m²		 N 80.219856°
W 25.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429172515869141 y=0.108699798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429172515869141 × 217)
    floor (0.429172515869141 × 131072)
    floor (56252.5)     		tx = 56252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108699798583984 × 217)
    floor (0.108699798583984 × 131072)
    floor (14247.5)     		ty = 14247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56252 / 14247 ti = "17/56252/14247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56252/14247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56252 ÷ 217
    56252 ÷ 131072     		x = 0.429168701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14247 ÷ 217
    14247 ÷ 131072     		y = 0.108695983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429168701171875 × 2 - 1) × π
    -0.14166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44504618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108695983886719 × 2 - 1) × π
    0.782608032226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.45863564461306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44504618} λ = -0.44504618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45863564461306))-π/2
    2×atan(11.6888529064025)-π/2
    2×1.48545254034189-π/2
    2.97090508068378-1.57079632675     		φ = 1.40010875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44504618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40010875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.220322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56252 KachelY 14247 -0.44504618 1.40010875 -25.499268 80.220322
    Oben rechts KachelX + 1 56253 KachelY 14247 -0.44499824 1.40010875 -25.496521 80.220322
    Unten links KachelX 56252 KachelY + 1 14248 -0.44504618 1.40010061 -25.499268 80.219856
    Unten rechts KachelX + 1 56253 KachelY + 1 14248 -0.44499824 1.40010061 -25.496521 80.219856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40010875-1.40010061) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dl = 51.8599400002888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40010875-1.40010061) × R
    8.14000000004533e-06 × 6371000     		dr = 51.8599400002888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44504618--0.44499824) × cos(1.40010875) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169859974237252 × 6371000     		do = 51.8796083278198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44504618--0.44499824) × cos(1.40010061) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169867995942839 × 6371000     		du = 51.8820583631846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40010875)-sin(1.40010061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169859974237252-0.169867995942839)×R²
    abs(-0.44499824--0.44504618)×8.02170558636406e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.02170558636406e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.02170558636406e-06×40589641000000     		ar = 2690.5369045189m²