Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56250 / 43443
↖ ↑ ↗
← N 51.749139°
W 25.504761°		 ← 189.09 m → N 51.749139°
W 25.502014°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
N 51.747438°
W 25.504761°		 ← 189.10 m →
35 756 m²		 N 51.747438°
W 25.502014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429157257080078 y=0.331447601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429157257080078 × 217)
    floor (0.429157257080078 × 131072)
    floor (56250.5)     		tx = 56250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331447601318359 × 217)
    floor (0.331447601318359 × 131072)
    floor (43443.5)     		ty = 43443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56250 / 43443 ti = "17/56250/43443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56250/43443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56250 ÷ 217
    56250 ÷ 131072     		x = 0.429153442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43443 ÷ 217
    43443 ÷ 131072     		y = 0.331443786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429153442382812 × 2 - 1) × π
    -0.141693115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44514205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331443786621094 × 2 - 1) × π
    0.337112426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0590699233059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44514205} λ = -0.44514205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0590699233059))-π/2
    2×atan(2.88368769091038)-π/2
    2×1.23699459446633-π/2
    2.47398918893266-1.57079632675     		φ = 0.90319286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44514205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.504761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90319286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.749139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56250 KachelY 43443 -0.44514205 0.90319286 -25.504761 51.749139
    Oben rechts KachelX + 1 56251 KachelY 43443 -0.44509411 0.90319286 -25.502014 51.749139
    Unten links KachelX 56250 KachelY + 1 43444 -0.44514205 0.90316318 -25.504761 51.747438
    Unten rechts KachelX + 1 56251 KachelY + 1 43444 -0.44509411 0.90316318 -25.502014 51.747438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90319286-0.90316318) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dl = 189.091280000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90319286-0.90316318) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dr = 189.091280000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44514205--0.44509411) × cos(0.90319286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.61910575090978 × 6371000     		do = 189.09083210997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44514205--0.44509411) × cos(0.90316318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619129058567464 × 6371000     		du = 189.097950868566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90319286)-sin(0.90316318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61910575090978-0.619129058567464)×R²
    abs(-0.44509411--0.44514205)×2.33076576832136e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33076576832136e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33076576832136e-05×40589641000000     		ar = 35756.1005302774m²