Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56249 / 16169
↖ ↑ ↗
← N 79.281717°
W 25.507508°		 ← 56.80 m → N 79.281717°
W 25.504761°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.281206°
W 25.507508°		 ← 56.81 m →
3 225 m²		 N 79.281206°
W 25.504761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429149627685547 y=0.123363494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429149627685547 × 217)
    floor (0.429149627685547 × 131072)
    floor (56249.5)     		tx = 56249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123363494873047 × 217)
    floor (0.123363494873047 × 131072)
    floor (16169.5)     		ty = 16169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56249 / 16169 ti = "17/56249/16169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56249/16169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56249 ÷ 217
    56249 ÷ 131072     		x = 0.429145812988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16169 ÷ 217
    16169 ÷ 131072     		y = 0.123359680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429145812988281 × 2 - 1) × π
    -0.141708374023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.44518999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123359680175781 × 2 - 1) × π
    0.753280639648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.36650092354331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44518999} λ = -0.44518999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36650092354331))-π/2
    2×atan(10.6600267012613)-π/2
    2×1.47726165929801-π/2
    2.95452331859603-1.57079632675     		φ = 1.38372699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44518999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.507508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38372699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.281717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56249 KachelY 16169 -0.44518999 1.38372699 -25.507508 79.281717
    Oben rechts KachelX + 1 56250 KachelY 16169 -0.44514205 1.38372699 -25.504761 79.281717
    Unten links KachelX 56249 KachelY + 1 16170 -0.44518999 1.38371808 -25.507508 79.281206
    Unten rechts KachelX + 1 56250 KachelY + 1 16170 -0.44514205 1.38371808 -25.504761 79.281206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38372699-1.38371808) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38372699-1.38371808) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44518999--0.44514205) × cos(1.38372699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185980164383217 × 6371000     		do = 56.8031293320284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44518999--0.44514205) × cos(1.38371808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185988918927511 × 6371000     		du = 56.8058031951977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38372699)-sin(1.38371808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185980164383217-0.185988918927511)×R²
    abs(-0.44514205--0.44518999)×8.75454429397071e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75454429397071e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75454429397071e-06×40589641000000     		ar = 3224.54017824871m²