Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56248 / 43443
↖ ↑ ↗
← N 51.749139°
W 25.510254°		 ← 189.05 m → N 51.749139°
W 25.507508°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
N 51.747438°
W 25.510254°		 ← 189.06 m →
35 749 m²		 N 51.747438°
W 25.507508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429141998291016 y=0.331447601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429141998291016 × 217)
    floor (0.429141998291016 × 131072)
    floor (56248.5)     		tx = 56248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331447601318359 × 217)
    floor (0.331447601318359 × 131072)
    floor (43443.5)     		ty = 43443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56248 / 43443 ti = "17/56248/43443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56248/43443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56248 ÷ 217
    56248 ÷ 131072     		x = 0.42913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43443 ÷ 217
    43443 ÷ 131072     		y = 0.331443786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331443786621094 × 2 - 1) × π
    0.337112426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0590699233059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44523792} λ = -0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0590699233059))-π/2
    2×atan(2.88368769091038)-π/2
    2×1.23699459446633-π/2
    2.47398918893266-1.57079632675     		φ = 0.90319286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90319286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.749139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56248 KachelY 43443 -0.44523792 0.90319286 -25.510254 51.749139
    Oben rechts KachelX + 1 56249 KachelY 43443 -0.44518999 0.90319286 -25.507508 51.749139
    Unten links KachelX 56248 KachelY + 1 43444 -0.44523792 0.90316318 -25.510254 51.747438
    Unten rechts KachelX + 1 56249 KachelY + 1 43444 -0.44518999 0.90316318 -25.507508 51.747438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90319286-0.90316318) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dl = 189.091280000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90319286-0.90316318) × R
    2.96800000000319e-05 × 6371000     		dr = 189.091280000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44523792--0.44518999) × cos(0.90319286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61910575090978 × 6371000     		do = 189.051388882601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44523792--0.44518999) × cos(0.90316318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.619129058567464 × 6371000     		du = 189.058506156265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90319286)-sin(0.90316318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61910575090978-0.619129058567464)×R²
    abs(-0.44518999--0.44523792)×2.33076576832136e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33076576832136e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33076576832136e-05×40589641000000     		ar = 35748.6420195324m²