Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56248 / 14243
↖ ↑ ↗
← N 80.222188°
W 25.510254°		 ← 51.86 m → N 80.222188°
W 25.507508°		 →
↑
51.86 m
↓
↑
51.86 m
↓
N 80.221722°
W 25.510254°		 ← 51.86 m →
2 689 m²		 N 80.221722°
W 25.507508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429141998291016 y=0.108669281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429141998291016 × 217)
    floor (0.429141998291016 × 131072)
    floor (56248.5)     		tx = 56248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108669281005859 × 217)
    floor (0.108669281005859 × 131072)
    floor (14243.5)     		ty = 14243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56248 / 14243 ti = "17/56248/14243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56248/14243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56248 ÷ 217
    56248 ÷ 131072     		x = 0.42913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14243 ÷ 217
    14243 ÷ 131072     		y = 0.108665466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108665466308594 × 2 - 1) × π
    0.782669067382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.45882739221154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44523792} λ = -0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45882739221154))-π/2
    2×atan(11.6910944307729)-π/2
    2×1.48546882392406-π/2
    2.97093764784812-1.57079632675     		φ = 1.40014132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40014132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.222188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56248 KachelY 14243 -0.44523792 1.40014132 -25.510254 80.222188
    Oben rechts KachelX + 1 56249 KachelY 14243 -0.44518999 1.40014132 -25.507508 80.222188
    Unten links KachelX 56248 KachelY + 1 14244 -0.44523792 1.40013318 -25.510254 80.221722
    Unten rechts KachelX + 1 56249 KachelY + 1 14244 -0.44518999 1.40013318 -25.507508 80.221722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40014132-1.40013318) × R
    8.13999999982329e-06 × 6371000     		dl = 51.8599399988742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40014132-1.40013318) × R
    8.13999999982329e-06 × 6371000     		dr = 51.8599399988742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44523792--0.44518999) × cos(1.40014132) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169827877447627 × 6371000     		do = 51.8589854080302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44523792--0.44518999) × cos(1.40013318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169835899198243 × 6371000     		du = 51.8614349460825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40014132)-sin(1.40013318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169827877447627-0.169835899198243)×R²
    abs(-0.44518999--0.44523792)×8.02175061620503e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.02175061620503e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.02175061620503e-06×40589641000000     		ar = 2689.46738826037m²