Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56247 / 86950
↖ ↑ ↗
← S 50.579749°
W 25.513000°		 ← 193.95 m → S 50.579749°
W 25.510254°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 50.581493°
W 25.513000°		 ← 193.94 m →
37 612 m²		 S 50.581493°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429134368896484 y=0.663379669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429134368896484 × 217)
    floor (0.429134368896484 × 131072)
    floor (56247.5)     		tx = 56247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663379669189453 × 217)
    floor (0.663379669189453 × 131072)
    floor (86950.5)     		ty = 86950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56247 / 86950 ti = "17/56247/86950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56247/86950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56247 ÷ 217
    56247 ÷ 131072     		x = 0.429130554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86950 ÷ 217
    86950 ÷ 131072     		y = 0.663375854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429130554199219 × 2 - 1) × π
    -0.141738891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44528586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663375854492188 × 2 - 1) × π
    -0.326751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02652076846388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44528586} λ = -0.44528586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02652076846388))-π/2
    2×atan(0.358251233747047)-π/2
    2×0.344006589761476-π/2
    0.688013179522951-1.57079632675     		φ = -0.88278315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44528586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.513000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88278315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.579749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56247 KachelY 86950 -0.44528586 -0.88278315 -25.513000 -50.579749
    Oben rechts KachelX + 1 56248 KachelY 86950 -0.44523792 -0.88278315 -25.510254 -50.579749
    Unten links KachelX 56247 KachelY + 1 86951 -0.44528586 -0.88281359 -25.513000 -50.581493
    Unten rechts KachelX + 1 56248 KachelY + 1 86951 -0.44523792 -0.88281359 -25.510254 -50.581493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88278315--0.88281359) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dl = 193.933240000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88278315--0.88281359) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dr = 193.933240000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44528586--0.44523792) × cos(-0.88278315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635003597396493 × 6371000     		do = 193.946443637359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44528586--0.44523792) × cos(-0.88281359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634980081922899 × 6371000     		du = 193.939261406435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88278315)-sin(-0.88281359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635003597396493-0.634980081922899)×R²
    abs(-0.44523792--0.44528586)×2.35154735934717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35154735934717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35154735934717e-05×40589641000000     		ar = 37611.9657673386m²