Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56247 / 29882
↖ ↑ ↗
← N 69.478746°
W 25.513000°		 ← 107.07 m → N 69.478746°
W 25.510254°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
N 69.477784°
W 25.513000°		 ← 107.07 m →
11 460 m²		 N 69.477784°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429134368896484 y=0.227985382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429134368896484 × 217)
    floor (0.429134368896484 × 131072)
    floor (56247.5)     		tx = 56247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227985382080078 × 217)
    floor (0.227985382080078 × 131072)
    floor (29882.5)     		ty = 29882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56247 / 29882 ti = "17/56247/29882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56247/29882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56247 ÷ 217
    56247 ÷ 131072     		x = 0.429130554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29882 ÷ 217
    29882 ÷ 131072     		y = 0.227981567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429130554199219 × 2 - 1) × π
    -0.141738891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44528586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227981567382812 × 2 - 1) × π
    0.544036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70914221905348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44528586} λ = -0.44528586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70914221905348))-π/2
    2×atan(5.52422087330517)-π/2
    2×1.39171460480301-π/2
    2.78342920960601-1.57079632675     		φ = 1.21263288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44528586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.513000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21263288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.478746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56247 KachelY 29882 -0.44528586 1.21263288 -25.513000 69.478746
    Oben rechts KachelX + 1 56248 KachelY 29882 -0.44523792 1.21263288 -25.510254 69.478746
    Unten links KachelX 56247 KachelY + 1 29883 -0.44528586 1.21261608 -25.513000 69.477784
    Unten rechts KachelX + 1 56248 KachelY + 1 29883 -0.44523792 1.21261608 -25.510254 69.477784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21263288-1.21261608) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dl = 107.032799998834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21263288-1.21261608) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dr = 107.032799998834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44528586--0.44523792) × cos(1.21263288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350554815832575 × 6371000     		do = 107.068464036158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44528586--0.44523792) × cos(1.21261608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350570549692321 × 6371000     		du = 107.073269561914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21263288)-sin(1.21261608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350554815832575-0.350570549692321)×R²
    abs(-0.44523792--0.44528586)×1.57338597463474e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57338597463474e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57338597463474e-05×40589641000000     		ar = 11460.0946720097m²