Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56247 / 16483
↖ ↑ ↗
← N 79.120130°
W 25.513000°		 ← 57.65 m → N 79.120130°
W 25.510254°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.119612°
W 25.513000°		 ← 57.65 m →
3 320 m²		 N 79.119612°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429134368896484 y=0.125759124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429134368896484 × 217)
    floor (0.429134368896484 × 131072)
    floor (56247.5)     		tx = 56247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125759124755859 × 217)
    floor (0.125759124755859 × 131072)
    floor (16483.5)     		ty = 16483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56247 / 16483 ti = "17/56247/16483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56247/16483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56247 ÷ 217
    56247 ÷ 131072     		x = 0.429130554199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16483 ÷ 217
    16483 ÷ 131072     		y = 0.125755310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429130554199219 × 2 - 1) × π
    -0.141738891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44528586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125755310058594 × 2 - 1) × π
    0.748489379882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.35144873706261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44528586} λ = -0.44528586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35144873706261))-π/2
    2×atan(10.5007715672879)-π/2
    2×1.47585155538342-π/2
    2.95170311076684-1.57079632675     		φ = 1.38090678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44528586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.513000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38090678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.120130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56247 KachelY 16483 -0.44528586 1.38090678 -25.513000 79.120130
    Oben rechts KachelX + 1 56248 KachelY 16483 -0.44523792 1.38090678 -25.510254 79.120130
    Unten links KachelX 56247 KachelY + 1 16484 -0.44528586 1.38089774 -25.513000 79.119612
    Unten rechts KachelX + 1 56248 KachelY + 1 16484 -0.44523792 1.38089774 -25.510254 79.119612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38090678-1.38089774) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38090678-1.38089774) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44528586--0.44523792) × cos(1.38090678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188750428309497 × 6371000     		do = 57.6492392417071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44528586--0.44523792) × cos(1.38089774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18875930580859 × 6371000     		du = 57.6519506584372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38090678)-sin(1.38089774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188750428309497-0.18875930580859)×R²
    abs(-0.44523792--0.44528586)×8.87749909364577e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.87749909364577e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.87749909364577e-06×40589641000000     		ar = 3320.31914145004m²