Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56246 / 29483
↖ ↑ ↗
← N 69.859491°
W 25.515747°		 ← 105.17 m → N 69.859491°
W 25.513000°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 69.858546°
W 25.515747°		 ← 105.17 m →
11 062 m²		 N 69.858546°
W 25.513000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429126739501953 y=0.224941253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429126739501953 × 217)
    floor (0.429126739501953 × 131072)
    floor (56246.5)     		tx = 56246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224941253662109 × 217)
    floor (0.224941253662109 × 131072)
    floor (29483.5)     		ty = 29483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56246 / 29483 ti = "17/56246/29483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56246/29483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56246 ÷ 217
    56246 ÷ 131072     		x = 0.429122924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29483 ÷ 217
    29483 ÷ 131072     		y = 0.224937438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429122924804688 × 2 - 1) × π
    -0.141754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44533380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224937438964844 × 2 - 1) × π
    0.550125122070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.72826904200188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44533380} λ = -0.44533380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72826904200188))-π/2
    2×atan(5.63089861886492)-π/2
    2×1.39503723185754-π/2
    2.79007446371509-1.57079632675     		φ = 1.21927814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44533380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.515747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21927814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.859491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56246 KachelY 29483 -0.44533380 1.21927814 -25.515747 69.859491
    Oben rechts KachelX + 1 56247 KachelY 29483 -0.44528586 1.21927814 -25.513000 69.859491
    Unten links KachelX 56246 KachelY + 1 29484 -0.44533380 1.21926163 -25.515747 69.858546
    Unten rechts KachelX + 1 56247 KachelY + 1 29484 -0.44528586 1.21926163 -25.513000 69.858546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21927814-1.21926163) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dl = 105.185209998745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21927814-1.21926163) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dr = 105.185209998745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44533380--0.44528586) × cos(1.21927814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344323554984748 × 6371000     		do = 105.1652765807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44533380--0.44528586) × cos(1.21926163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344339055368614 × 6371000     		du = 105.170010796913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21927814)-sin(1.21926163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344323554984748-0.344339055368614)×R²
    abs(-0.44528586--0.44533380)×1.55003838662737e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55003838662737e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55003838662737e-05×40589641000000     		ar = 11062.0806865298m²