Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56246 / 16477
↖ ↑ ↗
← N 79.123241°
W 25.515747°		 ← 57.63 m → N 79.123241°
W 25.513000°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.122722°
W 25.515747°		 ← 57.64 m →
3 323 m²		 N 79.122722°
W 25.513000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429126739501953 y=0.125713348388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429126739501953 × 217)
    floor (0.429126739501953 × 131072)
    floor (56246.5)     		tx = 56246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125713348388672 × 217)
    floor (0.125713348388672 × 131072)
    floor (16477.5)     		ty = 16477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56246 / 16477 ti = "17/56246/16477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56246/16477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56246 ÷ 217
    56246 ÷ 131072     		x = 0.429122924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16477 ÷ 217
    16477 ÷ 131072     		y = 0.125709533691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429122924804688 × 2 - 1) × π
    -0.141754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44533380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125709533691406 × 2 - 1) × π
    0.748580932617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.35173635846034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44533380} λ = -0.44533380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35173635846034))-π/2
    2×atan(10.5037922482687)-π/2
    2×1.47587869588073-π/2
    2.95175739176147-1.57079632675     		φ = 1.38096107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44533380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.515747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38096107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.123241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56246 KachelY 16477 -0.44533380 1.38096107 -25.515747 79.123241
    Oben rechts KachelX + 1 56247 KachelY 16477 -0.44528586 1.38096107 -25.513000 79.123241
    Unten links KachelX 56246 KachelY + 1 16478 -0.44533380 1.38095202 -25.515747 79.122722
    Unten rechts KachelX + 1 56247 KachelY + 1 16478 -0.44528586 1.38095202 -25.513000 79.122722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38096107-1.38095202) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dl = 57.6575499990055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38096107-1.38095202) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dr = 57.6575499990055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44533380--0.44528586) × cos(1.38096107) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.188697113889268 × 6371000     		do = 57.632955645523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44533380--0.44528586) × cos(1.38095202) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.188706001301323 × 6371000     		du = 57.6356700899264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38096107)-sin(1.38095202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188697113889268-0.188706001301323)×R²
    abs(-0.44528586--0.44533380)×8.88741205420929e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.88741205420929e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.88741205420929e-06×40589641000000     		ar = 3323.05327590499m²