Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56245 / 86997
↖ ↑ ↗
← S 50.661650°
W 25.518493°		 ← 193.57 m → S 50.661650°
W 25.515747°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
S 50.663390°
W 25.518493°		 ← 193.56 m →
37 465 m²		 S 50.663390°
W 25.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429119110107422 y=0.663738250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429119110107422 × 217)
    floor (0.429119110107422 × 131072)
    floor (56245.5)     		tx = 56245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663738250732422 × 217)
    floor (0.663738250732422 × 131072)
    floor (86997.5)     		ty = 86997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56245 / 86997 ti = "17/56245/86997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56245/86997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56245 ÷ 217
    56245 ÷ 131072     		x = 0.429115295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86997 ÷ 217
    86997 ÷ 131072     		y = 0.663734436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429115295410156 × 2 - 1) × π
    -0.141769409179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44538173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663734436035156 × 2 - 1) × π
    -0.327468872070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02877380274603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44538173} λ = -0.44538173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02877380274603))-π/2
    2×atan(0.357444990024221)-π/2
    2×0.343291869727548-π/2
    0.686583739455095-1.57079632675     		φ = -0.88421259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44538173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.518493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88421259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.661650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56245 KachelY 86997 -0.44538173 -0.88421259 -25.518493 -50.661650
    Oben rechts KachelX + 1 56246 KachelY 86997 -0.44533380 -0.88421259 -25.515747 -50.661650
    Unten links KachelX 56245 KachelY + 1 86998 -0.44538173 -0.88424297 -25.518493 -50.663390
    Unten rechts KachelX + 1 56246 KachelY + 1 86998 -0.44533380 -0.88424297 -25.515747 -50.663390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88421259--0.88424297) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88421259--0.88424297) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44538173--0.44533380) × cos(-0.88421259) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63389869350113 × 6371000     		do = 193.568591861747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44538173--0.44533380) × cos(-0.88424297) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633875196827831 × 6371000     		du = 193.56141686989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88421259)-sin(-0.88424297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63389869350113-0.633875196827831)×R²
    abs(-0.44533380--0.44538173)×2.34966732999276e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34966732999276e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34966732999276e-05×40589641000000     		ar = 37464.696291539m²