Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56245 / 43439
↖ ↑ ↗
← N 51.755941°
W 25.518493°		 ← 189.02 m → N 51.755941°
W 25.515747°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
N 51.754240°
W 25.518493°		 ← 189.03 m →
35 743 m²		 N 51.754240°
W 25.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429119110107422 y=0.331417083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429119110107422 × 217)
    floor (0.429119110107422 × 131072)
    floor (56245.5)     		tx = 56245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331417083740234 × 217)
    floor (0.331417083740234 × 131072)
    floor (43439.5)     		ty = 43439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56245 / 43439 ti = "17/56245/43439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56245/43439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56245 ÷ 217
    56245 ÷ 131072     		x = 0.429115295410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43439 ÷ 217
    43439 ÷ 131072     		y = 0.331413269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429115295410156 × 2 - 1) × π
    -0.141769409179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.44538173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331413269042969 × 2 - 1) × π
    0.337173461914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.05926167090438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44538173} λ = -0.44538173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05926167090438))-π/2
    2×atan(2.88424068411574)-π/2
    2×1.23705394601778-π/2
    2.47410789203557-1.57079632675     		φ = 0.90331157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44538173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.518493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90331157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.755941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56245 KachelY 43439 -0.44538173 0.90331157 -25.518493 51.755941
    Oben rechts KachelX + 1 56246 KachelY 43439 -0.44533380 0.90331157 -25.515747 51.755941
    Unten links KachelX 56245 KachelY + 1 43440 -0.44538173 0.90328189 -25.518493 51.754240
    Unten rechts KachelX + 1 56246 KachelY + 1 43440 -0.44533380 0.90328189 -25.515747 51.754240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90331157-0.90328189) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dl = 189.091279999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90331157-0.90328189) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dr = 189.091279999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44538173--0.44533380) × cos(0.90331157) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.619012522679347 × 6371000     		do = 189.022920520683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44538173--0.44533380) × cos(0.90328189) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61903583251821 × 6371000     		du = 189.030038460397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90331157)-sin(0.90328189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619012522679347-0.61903583251821)×R²
    abs(-0.44533380--0.44538173)×2.3309838863117e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3309838863117e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3309838863117e-05×40589641000000     		ar = 35743.2589632508m²