Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56244 / 43454
↖ ↑ ↗
← N 51.730431°
W 25.521240°		 ← 189.17 m → N 51.730431°
W 25.518493°		 →
↑
189.15 m
↓
↑
189.15 m
↓
N 51.728730°
W 25.521240°		 ← 189.18 m →
35 783 m²		 N 51.728730°
W 25.518493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429111480712891 y=0.331531524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429111480712891 × 217)
    floor (0.429111480712891 × 131072)
    floor (56244.5)     		tx = 56244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331531524658203 × 217)
    floor (0.331531524658203 × 131072)
    floor (43454.5)     		ty = 43454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56244 / 43454 ti = "17/56244/43454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56244/43454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56244 ÷ 217
    56244 ÷ 131072     		x = 0.429107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43454 ÷ 217
    43454 ÷ 131072     		y = 0.331527709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331527709960938 × 2 - 1) × π
    0.336944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05854261741008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44542967} λ = -0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05854261741008))-π/2
    2×atan(2.88216750622565)-π/2
    2×1.23683133161235-π/2
    2.4736626632247-1.57079632675     		φ = 0.90286634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90286634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.730431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56244 KachelY 43454 -0.44542967 0.90286634 -25.521240 51.730431
    Oben rechts KachelX + 1 56245 KachelY 43454 -0.44538173 0.90286634 -25.518493 51.730431
    Unten links KachelX 56244 KachelY + 1 43455 -0.44542967 0.90283665 -25.521240 51.728730
    Unten rechts KachelX + 1 56245 KachelY + 1 43455 -0.44538173 0.90283665 -25.518493 51.728730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90286634-0.90283665) × R
    2.96899999999711e-05 × 6371000     		dl = 189.154989999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90286634-0.90283665) × R
    2.96899999999711e-05 × 6371000     		dr = 189.154989999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44542967--0.44538173) × cos(0.90286634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619362136548551 × 6371000     		do = 189.169138883417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44542967--0.44538173) × cos(0.90283665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.619385446055925 × 6371000     		du = 189.176258206956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90286634)-sin(0.90283665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619362136548551-0.619385446055925)×R²
    abs(-0.44538173--0.44542967)×2.33095073741696e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33095073741696e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33095073741696e-05×40589641000000     		ar = 35782.9599042305m²