Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56244 / 29484
↖ ↑ ↗
← N 69.858546°
W 25.521240°		 ← 105.17 m → N 69.858546°
W 25.518493°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 69.857600°
W 25.521240°		 ← 105.17 m →
11 063 m²		 N 69.857600°
W 25.518493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429111480712891 y=0.224948883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429111480712891 × 217)
    floor (0.429111480712891 × 131072)
    floor (56244.5)     		tx = 56244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224948883056641 × 217)
    floor (0.224948883056641 × 131072)
    floor (29484.5)     		ty = 29484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56244 / 29484 ti = "17/56244/29484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56244/29484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56244 ÷ 217
    56244 ÷ 131072     		x = 0.429107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29484 ÷ 217
    29484 ÷ 131072     		y = 0.224945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224945068359375 × 2 - 1) × π
    0.55010986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72822110510226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44542967} λ = -0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72822110510226))-π/2
    2×atan(5.6306286975127)-π/2
    2×1.39502897876991-π/2
    2.79005795753983-1.57079632675     		φ = 1.21926163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21926163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.858546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56244 KachelY 29484 -0.44542967 1.21926163 -25.521240 69.858546
    Oben rechts KachelX + 1 56245 KachelY 29484 -0.44538173 1.21926163 -25.518493 69.858546
    Unten links KachelX 56244 KachelY + 1 29485 -0.44542967 1.21924512 -25.521240 69.857600
    Unten rechts KachelX + 1 56245 KachelY + 1 29485 -0.44538173 1.21924512 -25.518493 69.857600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21926163-1.21924512) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21926163-1.21924512) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44542967--0.44538173) × cos(1.21926163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344339055368614 × 6371000     		do = 105.170010796913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44542967--0.44538173) × cos(1.21924512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.344354555658621 × 6371000     		du = 105.174744984458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21926163)-sin(1.21924512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344339055368614-0.344354555658621)×R²
    abs(-0.44538173--0.44542967)×1.55002900064649e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55002900064649e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55002900064649e-05×40589641000000     		ar = 11062.5786551037m²