Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56242 / 17302
↖ ↑ ↗
← N 78.687259°
W 25.526734°		 ← 59.91 m → N 78.687259°
W 25.523987°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.686720°
W 25.526734°		 ← 59.92 m →
3 592 m²		 N 78.686720°
W 25.523987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429096221923828 y=0.132007598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429096221923828 × 217)
    floor (0.429096221923828 × 131072)
    floor (56242.5)     		tx = 56242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132007598876953 × 217)
    floor (0.132007598876953 × 131072)
    floor (17302.5)     		ty = 17302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56242 / 17302 ti = "17/56242/17302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56242/17302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56242 ÷ 217
    56242 ÷ 131072     		x = 0.429092407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17302 ÷ 217
    17302 ÷ 131072     		y = 0.132003784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429092407226562 × 2 - 1) × π
    -0.141815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44552555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132003784179688 × 2 - 1) × π
    0.735992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31218841627379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44552555} λ = -0.44552555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31218841627379))-π/2
    2×atan(10.0964958315301)-π/2
    2×1.47207403670428-π/2
    2.94414807340856-1.57079632675     		φ = 1.37335175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44552555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.526734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37335175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.687259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56242 KachelY 17302 -0.44552555 1.37335175 -25.526734 78.687259
    Oben rechts KachelX + 1 56243 KachelY 17302 -0.44547761 1.37335175 -25.523987 78.687259
    Unten links KachelX 56242 KachelY + 1 17303 -0.44552555 1.37334234 -25.526734 78.686720
    Unten rechts KachelX + 1 56243 KachelY + 1 17303 -0.44547761 1.37334234 -25.523987 78.686720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37335175-1.37334234) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37335175-1.37334234) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44552555--0.44547761) × cos(1.37335175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196164199971628 × 6371000     		do = 59.9135959378033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44552555--0.44547761) × cos(1.37334234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196173427136632 × 6371000     		du = 59.9164141515026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37335175)-sin(1.37334234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196164199971628-0.196173427136632)×R²
    abs(-0.44547761--0.44552555)×9.22716500367793e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.22716500367793e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.22716500367793e-06×40589641000000     		ar = 3591.97105815914m²