Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56239 / 86951
↖ ↑ ↗
← S 50.581493°
W 25.534973°		 ← 193.94 m → S 50.581493°
W 25.532227°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 50.583237°
W 25.534973°		 ← 193.93 m →
37 611 m²		 S 50.583237°
W 25.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429073333740234 y=0.663387298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429073333740234 × 217)
    floor (0.429073333740234 × 131072)
    floor (56239.5)     		tx = 56239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663387298583984 × 217)
    floor (0.663387298583984 × 131072)
    floor (86951.5)     		ty = 86951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56239 / 86951 ti = "17/56239/86951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56239/86951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56239 ÷ 217
    56239 ÷ 131072     		x = 0.429069519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86951 ÷ 217
    86951 ÷ 131072     		y = 0.663383483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429069519042969 × 2 - 1) × π
    -0.141860961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44566936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663383483886719 × 2 - 1) × π
    -0.326766967773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0265687053635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44566936} λ = -0.44566936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0265687053635))-π/2
    2×atan(0.358234060705231)-π/2
    2×0.343991369991383-π/2
    0.687982739982765-1.57079632675     		φ = -0.88281359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44566936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.534973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88281359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.581493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56239 KachelY 86951 -0.44566936 -0.88281359 -25.534973 -50.581493
    Oben rechts KachelX + 1 56240 KachelY 86951 -0.44562142 -0.88281359 -25.532227 -50.581493
    Unten links KachelX 56239 KachelY + 1 86952 -0.44566936 -0.88284403 -25.534973 -50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 56240 KachelY + 1 86952 -0.44562142 -0.88284403 -25.532227 -50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88281359--0.88284403) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88281359--0.88284403) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44566936--0.44562142) × cos(-0.88281359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634980081922899 × 6371000     		do = 193.93926140666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44566936--0.44562142) × cos(-0.88284403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 193.932078996033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88281359)-sin(-0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634980081922899-0.634956565860937)×R²
    abs(-0.44562142--0.44566936)×2.35160619619368e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35160619619368e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35160619619368e-05×40589641000000     		ar = 37610.5728766674m²