Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56239 / 29839
↖ ↑ ↗
← N 69.520108°
W 25.534973°		 ← 106.86 m → N 69.520108°
W 25.532227°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 69.519147°
W 25.534973°		 ← 106.87 m →
11 418 m²		 N 69.519147°
W 25.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429073333740234 y=0.227657318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429073333740234 × 217)
    floor (0.429073333740234 × 131072)
    floor (56239.5)     		tx = 56239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227657318115234 × 217)
    floor (0.227657318115234 × 131072)
    floor (29839.5)     		ty = 29839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56239 / 29839 ti = "17/56239/29839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56239/29839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56239 ÷ 217
    56239 ÷ 131072     		x = 0.429069519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29839 ÷ 217
    29839 ÷ 131072     		y = 0.227653503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429069519042969 × 2 - 1) × π
    -0.141860961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44566936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227653503417969 × 2 - 1) × π
    0.544692993164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.71120350573714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44566936} λ = -0.44566936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71120350573714))-π/2
    2×atan(5.53561962023554)-π/2
    2×1.39207555324145-π/2
    2.78415110648291-1.57079632675     		φ = 1.21335478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44566936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.534973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21335478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.520108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56239 KachelY 29839 -0.44566936 1.21335478 -25.534973 69.520108
    Oben rechts KachelX + 1 56240 KachelY 29839 -0.44562142 1.21335478 -25.532227 69.520108
    Unten links KachelX 56239 KachelY + 1 29840 -0.44566936 1.21333801 -25.534973 69.519147
    Unten rechts KachelX + 1 56240 KachelY + 1 29840 -0.44562142 1.21333801 -25.532227 69.519147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21335478-1.21333801) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21335478-1.21333801) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44566936--0.44562142) × cos(1.21335478) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349878634722054 × 6371000     		do = 106.861940920227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44566936--0.44562142) × cos(1.21333801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349894344725622 × 6371000     		du = 106.866739159692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21335478)-sin(1.21333801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349878634722054-0.349894344725622)×R²
    abs(-0.44562142--0.44566936)×1.57100035675928e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57100035675928e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57100035675928e-05×40589641000000     		ar = 11417.5645536509m²