Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56238 / 86561
↖ ↑ ↗
← S 49.896404°
W 25.537720°		 ← 196.71 m → S 49.896404°
W 25.534973°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
S 49.898173°
W 25.537720°		 ← 196.70 m →
38 698 m²		 S 49.898173°
W 25.534973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429065704345703 y=0.660411834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429065704345703 × 217)
    floor (0.429065704345703 × 131072)
    floor (56238.5)     		tx = 56238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660411834716797 × 217)
    floor (0.660411834716797 × 131072)
    floor (86561.5)     		ty = 86561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56238 / 86561 ti = "17/56238/86561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56238/86561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56238 ÷ 217
    56238 ÷ 131072     		x = 0.429061889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86561 ÷ 217
    86561 ÷ 131072     		y = 0.660408020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429061889648438 × 2 - 1) × π
    -0.141876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44571729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660408020019531 × 2 - 1) × π
    -0.320816040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.00787331451168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44571729} λ = -0.44571729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00787331451168))-π/2
    2×atan(0.364994383017327)-π/2
    2×0.349969898685845-π/2
    0.69993979737169-1.57079632675     		φ = -0.87085653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44571729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.537720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87085653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.896404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56238 KachelY 86561 -0.44571729 -0.87085653 -25.537720 -49.896404
    Oben rechts KachelX + 1 56239 KachelY 86561 -0.44566936 -0.87085653 -25.534973 -49.896404
    Unten links KachelX 56238 KachelY + 1 86562 -0.44571729 -0.87088741 -25.537720 -49.898173
    Unten rechts KachelX + 1 56239 KachelY + 1 86562 -0.44566936 -0.87088741 -25.534973 -49.898173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87085653--0.87088741) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dl = 196.736480000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87085653--0.87088741) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dr = 196.736480000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44571729--0.44566936) × cos(-0.87085653) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644171640119186 × 6371000     		do = 196.705559695117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44571729--0.44566936) × cos(-0.87088741) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644148020287708 × 6371000     		du = 196.698347095428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87085653)-sin(-0.87088741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644171640119186-0.644148020287708)×R²
    abs(-0.44566936--0.44571729)×2.3619831478694e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3619831478694e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3619831478694e-05×40589641000000     		ar = 38698.4499231955m²