Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56236 / 29496
↖ ↑ ↗
← N 69.847194°
W 25.543213°		 ← 105.23 m → N 69.847194°
W 25.540466°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.846247°
W 25.543213°		 ← 105.23 m →
11 075 m²		 N 69.846247°
W 25.540466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429050445556641 y=0.225040435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429050445556641 × 217)
    floor (0.429050445556641 × 131072)
    floor (56236.5)     		tx = 56236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225040435791016 × 217)
    floor (0.225040435791016 × 131072)
    floor (29496.5)     		ty = 29496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56236 / 29496 ti = "17/56236/29496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56236/29496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56236 ÷ 217
    56236 ÷ 131072     		x = 0.429046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29496 ÷ 217
    29496 ÷ 131072     		y = 0.22503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.14190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44581317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22503662109375 × 2 - 1) × π
    0.5499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72764586230682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44581317} λ = -0.44581317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72764586230682))-π/2
    2×atan(5.6273906503416)-π/2
    2×1.39492991274178-π/2
    2.78985982548355-1.57079632675     		φ = 1.21906350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44581317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21906350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.847194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56236 KachelY 29496 -0.44581317 1.21906350 -25.543213 69.847194
    Oben rechts KachelX + 1 56237 KachelY 29496 -0.44576523 1.21906350 -25.540466 69.847194
    Unten links KachelX 56236 KachelY + 1 29497 -0.44581317 1.21904698 -25.543213 69.846247
    Unten rechts KachelX + 1 56237 KachelY + 1 29497 -0.44576523 1.21904698 -25.540466 69.846247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21906350-1.21904698) × R
    1.65200000001864e-05 × 6371000     		dl = 105.248920001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21906350-1.21904698) × R
    1.65200000001864e-05 × 6371000     		dr = 105.248920001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44581317--0.44576523) × cos(1.21906350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344525062040496 × 6371000     		do = 105.226822022196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44581317--0.44576523) × cos(1.21904698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344540570591511 × 6371000     		du = 105.231558732866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21906350)-sin(1.21904698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344525062040496-0.344540570591511)×R²
    abs(-0.44576523--0.44581317)×1.55085510147868e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55085510147868e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55085510147868e-05×40589641000000     		ar = 11075.2586400573m²