Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56236 / 17295
↖ ↑ ↗
← N 78.691030°
W 25.543213°		 ← 59.89 m → N 78.691030°
W 25.540466°		 →
↑
59.89 m
↓
↑
59.89 m
↓
N 78.690491°
W 25.543213°		 ← 59.90 m →
3 587 m²		 N 78.690491°
W 25.540466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429050445556641 y=0.131954193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429050445556641 × 217)
    floor (0.429050445556641 × 131072)
    floor (56236.5)     		tx = 56236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131954193115234 × 217)
    floor (0.131954193115234 × 131072)
    floor (17295.5)     		ty = 17295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56236 / 17295 ti = "17/56236/17295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56236/17295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56236 ÷ 217
    56236 ÷ 131072     		x = 0.429046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17295 ÷ 217
    17295 ÷ 131072     		y = 0.131950378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.14190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44581317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131950378417969 × 2 - 1) × π
    0.736099243164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31252397457113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44581317} λ = -0.44581317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31252397457113))-π/2
    2×atan(10.0998843629735)-π/2
    2×1.47210694355317-π/2
    2.94421388710635-1.57079632675     		φ = 1.37341756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44581317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37341756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.691030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56236 KachelY 17295 -0.44581317 1.37341756 -25.543213 78.691030
    Oben rechts KachelX + 1 56237 KachelY 17295 -0.44576523 1.37341756 -25.540466 78.691030
    Unten links KachelX 56236 KachelY + 1 17296 -0.44581317 1.37340816 -25.543213 78.690491
    Unten rechts KachelX + 1 56237 KachelY + 1 17296 -0.44576523 1.37340816 -25.540466 78.690491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37341756-1.37340816) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dl = 59.8873999996001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37341756-1.37340816) × R
    9.39999999993724e-06 × 6371000     		dr = 59.8873999996001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44581317--0.44576523) × cos(1.37341756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196099668165328 × 6371000     		do = 59.8938862631106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44581317--0.44576523) × cos(1.37340816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196108885645973 × 6371000     		du = 59.8967015189573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37341756)-sin(1.37340816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196099668165328-0.196108885645973)×R²
    abs(-0.44576523--0.44581317)×9.21748064416916e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.21748064416916e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.21748064416916e-06×40589641000000     		ar = 3586.97342339512m²