Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56235 / 17309
↖ ↑ ↗
← N 78.683487°
W 25.545959°		 ← 59.92 m → N 78.683487°
W 25.543213°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.682948°
W 25.545959°		 ← 59.92 m →
3 592 m²		 N 78.682948°
W 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429042816162109 y=0.132061004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429042816162109 × 217)
    floor (0.429042816162109 × 131072)
    floor (56235.5)     		tx = 56235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132061004638672 × 217)
    floor (0.132061004638672 × 131072)
    floor (17309.5)     		ty = 17309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56235 / 17309 ti = "17/56235/17309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56235/17309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56235 ÷ 217
    56235 ÷ 131072     		x = 0.429039001464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17309 ÷ 217
    17309 ÷ 131072     		y = 0.132057189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429039001464844 × 2 - 1) × π
    -0.141921997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.44586110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132057189941406 × 2 - 1) × π
    0.735885620117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.31185285797645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44586110} λ = -0.44586110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31185285797645))-π/2
    2×atan(10.0931084369457)-π/2
    2×1.47204111902598-π/2
    2.94408223805195-1.57079632675     		φ = 1.37328591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44586110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.545959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37328591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.683487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56235 KachelY 17309 -0.44586110 1.37328591 -25.545959 78.683487
    Oben rechts KachelX + 1 56236 KachelY 17309 -0.44581317 1.37328591 -25.543213 78.683487
    Unten links KachelX 56235 KachelY + 1 17310 -0.44586110 1.37327650 -25.545959 78.682948
    Unten rechts KachelX + 1 56236 KachelY + 1 17310 -0.44581317 1.37327650 -25.543213 78.682948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37328591-1.37327650) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37328591-1.37327650) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44586110--0.44581317) × cos(1.37328591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196228760345094 × 6371000     		do = 59.9208126033981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44586110--0.44581317) × cos(1.37327650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196237987388541 × 6371000     		du = 59.9236301921158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37328591)-sin(1.37327650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196228760345094-0.196237987388541)×R²
    abs(-0.44581317--0.44586110)×9.22704344644143e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.22704344644143e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.22704344644143e-06×40589641000000     		ar = 3592.40368664175m²