Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56234 / 86948
↖ ↑ ↗
← S 50.576260°
W 25.548706°		 ← 193.96 m → S 50.576260°
W 25.545959°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
S 50.578005°
W 25.548706°		 ← 193.95 m →
37 627 m²		 S 50.578005°
W 25.545959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429035186767578 y=0.663364410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429035186767578 × 217)
    floor (0.429035186767578 × 131072)
    floor (56234.5)     		tx = 56234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663364410400391 × 217)
    floor (0.663364410400391 × 131072)
    floor (86948.5)     		ty = 86948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56234 / 86948 ti = "17/56234/86948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56234/86948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56234 ÷ 217
    56234 ÷ 131072     		x = 0.429031372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86948 ÷ 217
    86948 ÷ 131072     		y = 0.663360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.32672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02642489466464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44590904} λ = -0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02642489466464))-π/2
    2×atan(0.358285582300446)-π/2
    2×0.344037030992541-π/2
    0.688074061985082-1.57079632675     		φ = -0.88272226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88272226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.576260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56234 KachelY 86948 -0.44590904 -0.88272226 -25.548706 -50.576260
    Oben rechts KachelX + 1 56235 KachelY 86948 -0.44586110 -0.88272226 -25.545959 -50.576260
    Unten links KachelX 56234 KachelY + 1 86949 -0.44590904 -0.88275271 -25.548706 -50.578005
    Unten rechts KachelX + 1 56235 KachelY + 1 86949 -0.44586110 -0.88275271 -25.545959 -50.578005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88272226--0.88275271) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dl = 193.996950000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88272226--0.88275271) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dr = 193.996950000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(-0.88272226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635050634303192 × 6371000     		do = 193.960809919395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(-0.88275271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635027112281696 × 6371000     		du = 193.953625688573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88272226)-sin(-0.88275271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635050634303192-0.635027112281696)×R²
    abs(-0.44586110--0.44590904)×2.35220214962473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35220214962473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35220214962473e-05×40589641000000     		ar = 37627.1086874072m²