Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56234 / 86947
↖ ↑ ↗
← S 50.574516°
W 25.548706°		 ← 193.97 m → S 50.574516°
W 25.545959°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 50.576260°
W 25.548706°		 ← 193.96 m →
37 616 m²		 S 50.576260°
W 25.545959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429035186767578 y=0.663356781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429035186767578 × 217)
    floor (0.429035186767578 × 131072)
    floor (56234.5)     		tx = 56234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663356781005859 × 217)
    floor (0.663356781005859 × 131072)
    floor (86947.5)     		ty = 86947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56234 / 86947 ti = "17/56234/86947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56234/86947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56234 ÷ 217
    56234 ÷ 131072     		x = 0.429031372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86947 ÷ 217
    86947 ÷ 131072     		y = 0.663352966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663352966308594 × 2 - 1) × π
    -0.326705932617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.02637695776502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44590904} λ = -0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02637695776502))-π/2
    2×atan(0.358302757812107)-π/2
    2×0.344052252453527-π/2
    0.688104504907054-1.57079632675     		φ = -0.88269182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88269182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.574516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56234 KachelY 86947 -0.44590904 -0.88269182 -25.548706 -50.574516
    Oben rechts KachelX + 1 56235 KachelY 86947 -0.44586110 -0.88269182 -25.545959 -50.574516
    Unten links KachelX 56234 KachelY + 1 86948 -0.44590904 -0.88272226 -25.548706 -50.576260
    Unten rechts KachelX + 1 56235 KachelY + 1 86948 -0.44586110 -0.88272226 -25.545959 -50.576260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88269182--0.88272226) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88269182--0.88272226) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(-0.88269182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635074148011356 × 6371000     		do = 193.967991611111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(-0.88272226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635050634303192 × 6371000     		du = 193.960809919395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88269182)-sin(-0.88272226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635074148011356-0.635050634303192)×R²
    abs(-0.44586110--0.44590904)×2.35137081638914e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35137081638914e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35137081638914e-05×40589641000000     		ar = 37616.1446879227m²