Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56234 / 29499
↖ ↑ ↗
← N 69.844355°
W 25.548706°		 ← 105.24 m → N 69.844355°
W 25.545959°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.843408°
W 25.548706°		 ← 105.25 m →
11 077 m²		 N 69.843408°
W 25.545959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429035186767578 y=0.225063323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429035186767578 × 217)
    floor (0.429035186767578 × 131072)
    floor (56234.5)     		tx = 56234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225063323974609 × 217)
    floor (0.225063323974609 × 131072)
    floor (29499.5)     		ty = 29499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56234 / 29499 ti = "17/56234/29499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56234/29499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56234 ÷ 217
    56234 ÷ 131072     		x = 0.429031372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29499 ÷ 217
    29499 ÷ 131072     		y = 0.225059509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225059509277344 × 2 - 1) × π
    0.549880981445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.72750205160796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44590904} λ = -0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72750205160796))-π/2
    2×atan(5.62658142954811)-π/2
    2×1.39490513787438-π/2
    2.78981027574876-1.57079632675     		φ = 1.21901395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21901395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.844355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56234 KachelY 29499 -0.44590904 1.21901395 -25.548706 69.844355
    Oben rechts KachelX + 1 56235 KachelY 29499 -0.44586110 1.21901395 -25.545959 69.844355
    Unten links KachelX 56234 KachelY + 1 29500 -0.44590904 1.21899743 -25.548706 69.843408
    Unten rechts KachelX + 1 56235 KachelY + 1 29500 -0.44586110 1.21899743 -25.545959 69.843408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21901395-1.21899743) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21901395-1.21899743) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(1.21901395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34457157802385 × 6371000     		do = 105.241029200833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(1.21899743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344587086292822 × 6371000     		du = 105.24576582536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21901395)-sin(1.21899743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34457157802385-0.344587086292822)×R²
    abs(-0.44586110--0.44590904)×1.55082689727304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55082689727304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55082689727304e-05×40589641000000     		ar = 11076.7539255924m²