Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56234 / 14348
↖ ↑ ↗
← N 80.173090°
W 25.548706°		 ← 52.13 m → N 80.173090°
W 25.545959°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.172621°
W 25.548706°		 ← 52.13 m →
2 717 m²		 N 80.172621°
W 25.545959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429035186767578 y=0.109470367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429035186767578 × 217)
    floor (0.429035186767578 × 131072)
    floor (56234.5)     		tx = 56234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109470367431641 × 217)
    floor (0.109470367431641 × 131072)
    floor (14348.5)     		ty = 14348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56234 / 14348 ti = "17/56234/14348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56234/14348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56234 ÷ 217
    56234 ÷ 131072     		x = 0.429031372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14348 ÷ 217
    14348 ÷ 131072     		y = 0.109466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109466552734375 × 2 - 1) × π
    0.78106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45379401775143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44590904} λ = -0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45379401775143))-π/2
    2×atan(11.6323966226036)-π/2
    2×1.48504035855748-π/2
    2.97008071711496-1.57079632675     		φ = 1.39928439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39928439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.173090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56234 KachelY 14348 -0.44590904 1.39928439 -25.548706 80.173090
    Oben rechts KachelX + 1 56235 KachelY 14348 -0.44586110 1.39928439 -25.545959 80.173090
    Unten links KachelX 56234 KachelY + 1 14349 -0.44590904 1.39927621 -25.548706 80.172621
    Unten rechts KachelX + 1 56235 KachelY + 1 14349 -0.44586110 1.39927621 -25.545959 80.172621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39928439-1.39927621) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39928439-1.39927621) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(1.39928439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170672297001442 × 6371000     		do = 52.1277126091311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44590904--0.44586110) × cos(1.39927621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170680356977525 × 6371000     		du = 52.1301743332904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39928439)-sin(1.39927621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170672297001442-0.170680356977525)×R²
    abs(-0.44586110--0.44590904)×8.05997608233078e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.05997608233078e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.05997608233078e-06×40589641000000     		ar = 2716.68842053955m²