Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56231 / 16249
↖ ↑ ↗
← N 79.240775°
W 25.556946°		 ← 57.02 m → N 79.240775°
W 25.554199°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.240262°
W 25.556946°		 ← 57.02 m →
3 251 m²		 N 79.240262°
W 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429012298583984 y=0.123973846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429012298583984 × 217)
    floor (0.429012298583984 × 131072)
    floor (56231.5)     		tx = 56231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123973846435547 × 217)
    floor (0.123973846435547 × 131072)
    floor (16249.5)     		ty = 16249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56231 / 16249 ti = "17/56231/16249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56231/16249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56231 ÷ 217
    56231 ÷ 131072     		x = 0.429008483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16249 ÷ 217
    16249 ÷ 131072     		y = 0.123970031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429008483886719 × 2 - 1) × π
    -0.141983032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.44605285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123970031738281 × 2 - 1) × π
    0.752059936523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.36266597157371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44605285} λ = -0.44605285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36266597157371))-π/2
    2×atan(10.6192242985009)-π/2
    2×1.47690437412221-π/2
    2.95380874824442-1.57079632675     		φ = 1.38301242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44605285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.556946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38301242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.240775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56231 KachelY 16249 -0.44605285 1.38301242 -25.556946 79.240775
    Oben rechts KachelX + 1 56232 KachelY 16249 -0.44600491 1.38301242 -25.554199 79.240775
    Unten links KachelX 56231 KachelY + 1 16250 -0.44605285 1.38300347 -25.556946 79.240262
    Unten rechts KachelX + 1 56232 KachelY + 1 16250 -0.44600491 1.38300347 -25.554199 79.240262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38301242-1.38300347) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38301242-1.38300347) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44605285--0.44600491) × cos(1.38301242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186682220095578 × 6371000     		do = 57.0175552175634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44605285--0.44600491) × cos(1.38300347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186691012750255 × 6371000     		du = 57.0202407206246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38301242)-sin(1.38300347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186682220095578-0.186691012750255)×R²
    abs(-0.44600491--0.44605285)×8.79265467651491e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.79265467651491e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.79265467651491e-06×40589641000000     		ar = 3251.24322087125m²