Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56228 / 16468
↖ ↑ ↗
← N 79.127904°
W 25.565185°		 ← 57.61 m → N 79.127904°
W 25.562439°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.127386°
W 25.565185°		 ← 57.61 m →
3 318 m²		 N 79.127386°
W 25.562439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428989410400391 y=0.125644683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428989410400391 × 217)
    floor (0.428989410400391 × 131072)
    floor (56228.5)     		tx = 56228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125644683837891 × 217)
    floor (0.125644683837891 × 131072)
    floor (16468.5)     		ty = 16468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56228 / 16468 ti = "17/56228/16468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56228/16468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56228 ÷ 217
    56228 ÷ 131072     		x = 0.428985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16468 ÷ 217
    16468 ÷ 131072     		y = 0.125640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.14202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44619666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125640869140625 × 2 - 1) × π
    0.74871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35216779055692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44619666} λ = -0.44619666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35216779055692))-π/2
    2×atan(10.5083248990756)-π/2
    2×1.47591939225573-π/2
    2.95183878451145-1.57079632675     		φ = 1.38104246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44619666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.565185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38104246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.127904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56228 KachelY 16468 -0.44619666 1.38104246 -25.565185 79.127904
    Oben rechts KachelX + 1 56229 KachelY 16468 -0.44614872 1.38104246 -25.562439 79.127904
    Unten links KachelX 56228 KachelY + 1 16469 -0.44619666 1.38103342 -25.565185 79.127386
    Unten rechts KachelX + 1 56229 KachelY + 1 16469 -0.44614872 1.38103342 -25.562439 79.127386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38104246-1.38103342) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38104246-1.38103342) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44619666--0.44614872) × cos(1.38104246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.188617185408444 × 6371000     		do = 57.6085434301201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44619666--0.44614872) × cos(1.38103342) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.188626063138973 × 6371000     		du = 57.6112549175363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38104246)-sin(1.38103342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188617185408444-0.188626063138973)×R²
    abs(-0.44614872--0.44619666)×8.87773052868357e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.87773052868357e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.87773052868357e-06×40589641000000     		ar = 3317.97531534306m²