Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56228 / 16247
↖ ↑ ↗
← N 79.241800°
W 25.565185°		 ← 57.01 m → N 79.241800°
W 25.562439°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.241287°
W 25.565185°		 ← 57.01 m →
3 251 m²		 N 79.241287°
W 25.562439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428989410400391 y=0.123958587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428989410400391 × 217)
    floor (0.428989410400391 × 131072)
    floor (56228.5)     		tx = 56228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123958587646484 × 217)
    floor (0.123958587646484 × 131072)
    floor (16247.5)     		ty = 16247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56228 / 16247 ti = "17/56228/16247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56228/16247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56228 ÷ 217
    56228 ÷ 131072     		x = 0.428985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16247 ÷ 217
    16247 ÷ 131072     		y = 0.123954772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.14202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44619666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123954772949219 × 2 - 1) × π
    0.752090454101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.36276184537295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44619666} λ = -0.44619666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36276184537295))-π/2
    2×atan(10.6202424526858)-π/2
    2×1.47691332266756-π/2
    2.95382664533511-1.57079632675     		φ = 1.38303032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44619666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.565185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38303032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.241800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56228 KachelY 16247 -0.44619666 1.38303032 -25.565185 79.241800
    Oben rechts KachelX + 1 56229 KachelY 16247 -0.44614872 1.38303032 -25.562439 79.241800
    Unten links KachelX 56228 KachelY + 1 16248 -0.44619666 1.38302137 -25.565185 79.241287
    Unten rechts KachelX + 1 56229 KachelY + 1 16248 -0.44614872 1.38302137 -25.562439 79.241287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38303032-1.38302137) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38303032-1.38302137) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44619666--0.44614872) × cos(1.38303032) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186664634741365 × 6371000     		do = 57.0121841977396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44619666--0.44614872) × cos(1.38302137) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186673427425948 × 6371000     		du = 57.014869709935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38303032)-sin(1.38302137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186664634741365-0.186673427425948)×R²
    abs(-0.44614872--0.44619666)×8.79268458325866e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.79268458325866e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.79268458325866e-06×40589641000000     		ar = 3250.93696319879m²