Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56228 / 16245
↖ ↑ ↗
← N 79.242825°
W 25.565185°		 ← 57.01 m → N 79.242825°
W 25.562439°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.242313°
W 25.565185°		 ← 57.01 m →
3 247 m²		 N 79.242313°
W 25.562439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428989410400391 y=0.123943328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428989410400391 × 217)
    floor (0.428989410400391 × 131072)
    floor (56228.5)     		tx = 56228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123943328857422 × 217)
    floor (0.123943328857422 × 131072)
    floor (16245.5)     		ty = 16245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56228 / 16245 ti = "17/56228/16245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56228/16245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56228 ÷ 217
    56228 ÷ 131072     		x = 0.428985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16245 ÷ 217
    16245 ÷ 131072     		y = 0.123939514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.14202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44619666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123939514160156 × 2 - 1) × π
    0.752120971679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36285771917219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44619666} λ = -0.44619666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36285771917219))-π/2
    2×atan(10.6212607044896)-π/2
    2×1.47692227037009-π/2
    2.95384454074018-1.57079632675     		φ = 1.38304821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44619666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.565185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38304821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.242825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56228 KachelY 16245 -0.44619666 1.38304821 -25.565185 79.242825
    Oben rechts KachelX + 1 56229 KachelY 16245 -0.44614872 1.38304821 -25.562439 79.242825
    Unten links KachelX 56228 KachelY + 1 16246 -0.44619666 1.38303927 -25.565185 79.242313
    Unten rechts KachelX + 1 56229 KachelY + 1 16246 -0.44614872 1.38303927 -25.562439 79.242313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38304821-1.38303927) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38304821-1.38303927) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44619666--0.44614872) × cos(1.38304821) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186647059151612 × 6371000     		do = 57.0068161602336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44619666--0.44614872) × cos(1.38303927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186655842041829 × 6371000     		du = 57.0094986809774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38304821)-sin(1.38303927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186647059151612-0.186655842041829)×R²
    abs(-0.44614872--0.44619666)×8.78289021666312e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.78289021666312e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.78289021666312e-06×40589641000000     		ar = 3246.99880008508m²