Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56227 / 86371
↖ ↑ ↗
← S 49.559071°
W 25.567932°		 ← 198.12 m → S 49.559071°
W 25.565185°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
S 49.560852°
W 25.567932°		 ← 198.11 m →
39 242 m²		 S 49.560852°
W 25.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428981781005859 y=0.658962249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428981781005859 × 217)
    floor (0.428981781005859 × 131072)
    floor (56227.5)     		tx = 56227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658962249755859 × 217)
    floor (0.658962249755859 × 131072)
    floor (86371.5)     		ty = 86371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56227 / 86371 ti = "17/56227/86371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56227/86371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56227 ÷ 217
    56227 ÷ 131072     		x = 0.428977966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86371 ÷ 217
    86371 ÷ 131072     		y = 0.658958435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428977966308594 × 2 - 1) × π
    -0.142044067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44624460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658958435058594 × 2 - 1) × π
    -0.317916870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.99876530358387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44624460} λ = -0.44624460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99876530358387))-π/2
    2×atan(0.368333941126018)-π/2
    2×0.352913685041273-π/2
    0.705827370082546-1.57079632675     		φ = -0.86496896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44624460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.567932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86496896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.559071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56227 KachelY 86371 -0.44624460 -0.86496896 -25.567932 -49.559071
    Oben rechts KachelX + 1 56228 KachelY 86371 -0.44619666 -0.86496896 -25.565185 -49.559071
    Unten links KachelX 56227 KachelY + 1 86372 -0.44624460 -0.86500005 -25.567932 -49.560852
    Unten rechts KachelX + 1 56228 KachelY + 1 86372 -0.44619666 -0.86500005 -25.565185 -49.560852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86496896--0.86500005) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86496896--0.86500005) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44624460--0.44619666) × cos(-0.86496896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648663739771084 × 6371000     		do = 198.118602730621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44624460--0.44619666) × cos(-0.86500005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648640077631817 × 6371000     		du = 198.111375704225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86496896)-sin(-0.86500005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648663739771084-0.648640077631817)×R²
    abs(-0.44619666--0.44624460)×2.36621392668557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36621392668557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36621392668557e-05×40589641000000     		ar = 39241.505642364m²