Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56227 / 43295
↖ ↑ ↗
← N 52.000101°
W 25.567932°		 ← 188.04 m → N 52.000101°
W 25.565185°		 →
↑
188.01 m
↓
↑
188.01 m
↓
N 51.998411°
W 25.567932°		 ← 188.05 m →
35 353 m²		 N 51.998411°
W 25.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428981781005859 y=0.330318450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428981781005859 × 217)
    floor (0.428981781005859 × 131072)
    floor (56227.5)     		tx = 56227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330318450927734 × 217)
    floor (0.330318450927734 × 131072)
    floor (43295.5)     		ty = 43295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56227 / 43295 ti = "17/56227/43295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56227/43295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56227 ÷ 217
    56227 ÷ 131072     		x = 0.428977966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43295 ÷ 217
    43295 ÷ 131072     		y = 0.330314636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428977966308594 × 2 - 1) × π
    -0.142044067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.44624460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330314636230469 × 2 - 1) × π
    0.339370727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.06616458444967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44624460} λ = -0.44624460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06616458444967))-π/2
    2×atan(2.90421922393682)-π/2
    2×1.23918465357249-π/2
    2.47836930714498-1.57079632675     		φ = 0.90757298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44624460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.567932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90757298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.000101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56227 KachelY 43295 -0.44624460 0.90757298 -25.567932 52.000101
    Oben rechts KachelX + 1 56228 KachelY 43295 -0.44619666 0.90757298 -25.565185 52.000101
    Unten links KachelX 56227 KachelY + 1 43296 -0.44624460 0.90754347 -25.567932 51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 56228 KachelY + 1 43296 -0.44619666 0.90754347 -25.565185 51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90757298-0.90754347) × R
    2.95099999999549e-05 × 6371000     		dl = 188.008209999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90757298-0.90754347) × R
    2.95099999999549e-05 × 6371000     		dr = 188.008209999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44624460--0.44619666) × cos(0.90757298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.615660081362869 × 6371000     		do = 188.038435938591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44624460--0.44619666) × cos(0.90754347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 188.045538296961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90757298)-sin(0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615660081362869-0.615683335324272)×R²
    abs(-0.44619666--0.44624460)×2.32539614035687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32539614035687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32539614035687e-05×40589641000000     		ar = 35353.4374054557m²