Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56226 / 43302
↖ ↑ ↗
← N 51.988263°
W 25.570679°		 ← 188.09 m → N 51.988263°
W 25.567932°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.986572°
W 25.570679°		 ← 188.10 m →
35 375 m²		 N 51.986572°
W 25.567932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428974151611328 y=0.330371856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428974151611328 × 217)
    floor (0.428974151611328 × 131072)
    floor (56226.5)     		tx = 56226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330371856689453 × 217)
    floor (0.330371856689453 × 131072)
    floor (43302.5)     		ty = 43302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56226 / 43302 ti = "17/56226/43302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56226/43302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56226 ÷ 217
    56226 ÷ 131072     		x = 0.428970336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43302 ÷ 217
    43302 ÷ 131072     		y = 0.330368041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428970336914062 × 2 - 1) × π
    -0.142059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44629254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330368041992188 × 2 - 1) × π
    0.339263916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06582902615233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44629254} λ = -0.44629254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06582902615233))-π/2
    2×atan(2.90324485256728)-π/2
    2×1.23908134499092-π/2
    2.47816268998185-1.57079632675     		φ = 0.90736636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44629254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.570679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90736636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.988263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56226 KachelY 43302 -0.44629254 0.90736636 -25.570679 51.988263
    Oben rechts KachelX + 1 56227 KachelY 43302 -0.44624460 0.90736636 -25.567932 51.988263
    Unten links KachelX 56226 KachelY + 1 43303 -0.44629254 0.90733684 -25.570679 51.986572
    Unten rechts KachelX + 1 56227 KachelY + 1 43303 -0.44624460 0.90733684 -25.567932 51.986572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90736636-0.90733684) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90736636-0.90733684) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44629254--0.44624460) × cos(0.90736636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.61582288722682 × 6371000     		do = 188.088161040283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44629254--0.44624460) × cos(0.90733684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.615846145312422 × 6371000     		du = 188.095264658289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90736636)-sin(0.90733684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61582288722682-0.615846145312422)×R²
    abs(-0.44624460--0.44629254)×2.32580856018849e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32580856018849e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32580856018849e-05×40589641000000     		ar = 35374.7695741271m²