Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56225 / 43301
↖ ↑ ↗
← N 51.989954°
W 25.573425°		 ← 188.04 m → N 51.989954°
W 25.570679°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.988263°
W 25.573425°		 ← 188.05 m →
35 366 m²		 N 51.988263°
W 25.570679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428966522216797 y=0.330364227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428966522216797 × 217)
    floor (0.428966522216797 × 131072)
    floor (56225.5)     		tx = 56225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330364227294922 × 217)
    floor (0.330364227294922 × 131072)
    floor (43301.5)     		ty = 43301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56225 / 43301 ti = "17/56225/43301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56225/43301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56225 ÷ 217
    56225 ÷ 131072     		x = 0.428962707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43301 ÷ 217
    43301 ÷ 131072     		y = 0.330360412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428962707519531 × 2 - 1) × π
    -0.142074584960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44634047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330360412597656 × 2 - 1) × π
    0.339279174804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.06587696305195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44634047} λ = -0.44634047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06587696305195))-π/2
    2×atan(2.90338402846015)-π/2
    2×1.23909610503209-π/2
    2.47819221006418-1.57079632675     		φ = 0.90739588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44634047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.573425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90739588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.989954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56225 KachelY 43301 -0.44634047 0.90739588 -25.573425 51.989954
    Oben rechts KachelX + 1 56226 KachelY 43301 -0.44629254 0.90739588 -25.570679 51.989954
    Unten links KachelX 56225 KachelY + 1 43302 -0.44634047 0.90736636 -25.573425 51.988263
    Unten rechts KachelX + 1 56226 KachelY + 1 43302 -0.44629254 0.90736636 -25.570679 51.988263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90739588-0.90736636) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90739588-0.90736636) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44634047--0.44629254) × cos(0.90739588) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615799628604572 × 6371000     		do = 188.041824663835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44634047--0.44629254) × cos(0.90736636) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61582288722682 × 6371000     		du = 188.04892696394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90739588)-sin(0.90736636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615799628604572-0.61582288722682)×R²
    abs(-0.44629254--0.44634047)×2.3258622248834e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3258622248834e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3258622248834e-05×40589641000000     		ar = 35366.0548789949m²