Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56225 / 43294
↖ ↑ ↗
← N 52.001792°
W 25.573425°		 ← 187.99 m → N 52.001792°
W 25.570679°		 →
↑
188.01 m
↓
↑
188.01 m
↓
N 52.000101°
W 25.573425°		 ← 188 m →
35 345 m²		 N 52.000101°
W 25.570679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428966522216797 y=0.330310821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428966522216797 × 217)
    floor (0.428966522216797 × 131072)
    floor (56225.5)     		tx = 56225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330310821533203 × 217)
    floor (0.330310821533203 × 131072)
    floor (43294.5)     		ty = 43294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56225 / 43294 ti = "17/56225/43294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56225/43294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56225 ÷ 217
    56225 ÷ 131072     		x = 0.428962707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43294 ÷ 217
    43294 ÷ 131072     		y = 0.330307006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428962707519531 × 2 - 1) × π
    -0.142074584960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.44634047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330307006835938 × 2 - 1) × π
    0.339385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06621252134929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44634047} λ = -0.44634047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06621252134929))-π/2
    2×atan(2.90435844653916)-π/2
    2×1.23919940971154-π/2
    2.47839881942307-1.57079632675     		φ = 0.90760249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44634047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.573425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90760249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.001792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56225 KachelY 43294 -0.44634047 0.90760249 -25.573425 52.001792
    Oben rechts KachelX + 1 56226 KachelY 43294 -0.44629254 0.90760249 -25.570679 52.001792
    Unten links KachelX 56225 KachelY + 1 43295 -0.44634047 0.90757298 -25.573425 52.000101
    Unten rechts KachelX + 1 56226 KachelY + 1 43295 -0.44629254 0.90757298 -25.570679 52.000101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90760249-0.90757298) × R
    2.95100000000659e-05 × 6371000     		dl = 188.00821000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90760249-0.90757298) × R
    2.95100000000659e-05 × 6371000     		dr = 188.00821000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44634047--0.44629254) × cos(0.90760249) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615636826865324 × 6371000     		do = 187.992111194251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44634047--0.44629254) × cos(0.90757298) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615660081362869 × 6371000     		du = 187.999212234828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90760249)-sin(0.90757298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615636826865324-0.615660081362869)×R²
    abs(-0.44629254--0.44634047)×2.32544975451443e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32544975451443e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32544975451443e-05×40589641000000     		ar = 35344.7278493514m²