Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56224 / 29600
↖ ↑ ↗
← N 69.748551°
W 25.576172°		 ← 105.72 m → N 69.748551°
W 25.573425°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 69.747600°
W 25.576172°		 ← 105.73 m →
11 181 m²		 N 69.747600°
W 25.573425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428958892822266 y=0.225833892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428958892822266 × 217)
    floor (0.428958892822266 × 131072)
    floor (56224.5)     		tx = 56224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225833892822266 × 217)
    floor (0.225833892822266 × 131072)
    floor (29600.5)     		ty = 29600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56224 / 29600 ti = "17/56224/29600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56224/29600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56224 ÷ 217
    56224 ÷ 131072     		x = 0.428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29600 ÷ 217
    29600 ÷ 131072     		y = 0.225830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225830078125 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44638841} λ = -0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72266042474634))-π/2
    2×atan(5.59940546279177)-π/2
    2×1.39406909623832-π/2
    2.78813819247665-1.57079632675     		φ = 1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56224 KachelY 29600 -0.44638841 1.21734187 -25.576172 69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 56225 KachelY 29600 -0.44634047 1.21734187 -25.573425 69.748551
    Unten links KachelX 56224 KachelY + 1 29601 -0.44638841 1.21732527 -25.576172 69.747600
    Unten rechts KachelX + 1 56225 KachelY + 1 29601 -0.44634047 1.21732527 -25.573425 69.747600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21734187-1.21732527) × R
    1.66000000001443e-05 × 6371000     		dl = 105.758600000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21734187-1.21732527) × R
    1.66000000001443e-05 × 6371000     		dr = 105.758600000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44638841--0.44634047) × cos(1.21734187) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 105.720303114613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44638841--0.44634047) × cos(1.21732527) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346156351291224 × 6371000     		du = 105.725059748875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21734187)-sin(1.21732527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.346156351291224)×R²
    abs(-0.44634047--0.44638841)×1.5573783213374e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5573783213374e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5573783213374e-05×40589641000000     		ar = 11181.0827768102m²