Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56224 / 14349
↖ ↑ ↗
← N 80.172621°
W 25.576172°		 ← 52.13 m → N 80.172621°
W 25.573425°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.172153°
W 25.576172°		 ← 52.13 m →
2 717 m²		 N 80.172153°
W 25.573425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428958892822266 y=0.109477996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428958892822266 × 217)
    floor (0.428958892822266 × 131072)
    floor (56224.5)     		tx = 56224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109477996826172 × 217)
    floor (0.109477996826172 × 131072)
    floor (14349.5)     		ty = 14349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56224 / 14349 ti = "17/56224/14349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56224/14349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56224 ÷ 217
    56224 ÷ 131072     		x = 0.428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14349 ÷ 217
    14349 ÷ 131072     		y = 0.109474182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109474182128906 × 2 - 1) × π
    0.781051635742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.45374608085181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44638841} λ = -0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45374608085181))-π/2
    2×atan(11.6318390149395)-π/2
    2×1.48503626771049-π/2
    2.97007253542098-1.57079632675     		φ = 1.39927621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39927621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.172621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56224 KachelY 14349 -0.44638841 1.39927621 -25.576172 80.172621
    Oben rechts KachelX + 1 56225 KachelY 14349 -0.44634047 1.39927621 -25.573425 80.172621
    Unten links KachelX 56224 KachelY + 1 14350 -0.44638841 1.39926803 -25.576172 80.172153
    Unten rechts KachelX + 1 56225 KachelY + 1 14350 -0.44634047 1.39926803 -25.573425 80.172153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39927621-1.39926803) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39927621-1.39926803) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44638841--0.44634047) × cos(1.39927621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170680356977525 × 6371000     		do = 52.1301743333508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44638841--0.44634047) × cos(1.39926803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170688416942186 × 6371000     		du = 52.132636054022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39927621)-sin(1.39926803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170680356977525-0.170688416942186)×R²
    abs(-0.44634047--0.44638841)×8.05996466171632e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.05996466171632e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.05996466171632e-06×40589641000000     		ar = 2716.81671273615m²