Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56223 / 44191
↖ ↑ ↗
← N 50.459253°
W 25.578919°		 ← 194.44 m → N 50.459253°
W 25.576172°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
N 50.457504°
W 25.578919°		 ← 194.45 m →
37 809 m²		 N 50.457504°
W 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428951263427734 y=0.337154388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428951263427734 × 217)
    floor (0.428951263427734 × 131072)
    floor (56223.5)     		tx = 56223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337154388427734 × 217)
    floor (0.337154388427734 × 131072)
    floor (44191.5)     		ty = 44191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56223 / 44191 ti = "17/56223/44191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56223/44191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56223 ÷ 217
    56223 ÷ 131072     		x = 0.428947448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44191 ÷ 217
    44191 ÷ 131072     		y = 0.337150573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428947448730469 × 2 - 1) × π
    -0.142105102539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.44643635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337150573730469 × 2 - 1) × π
    0.325698852539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.0232131223901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44643635} λ = -0.44643635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0232131223901))-π/2
    2×atan(2.78211970894423)-π/2
    2×1.22573821137549-π/2
    2.45147642275097-1.57079632675     		φ = 0.88068010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44643635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.578919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88068010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.459253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56223 KachelY 44191 -0.44643635 0.88068010 -25.578919 50.459253
    Oben rechts KachelX + 1 56224 KachelY 44191 -0.44638841 0.88068010 -25.576172 50.459253
    Unten links KachelX 56223 KachelY + 1 44192 -0.44643635 0.88064958 -25.578919 50.457504
    Unten rechts KachelX + 1 56224 KachelY + 1 44192 -0.44638841 0.88064958 -25.576172 50.457504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88068010-0.88064958) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dl = 194.442919999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88068010-0.88064958) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dr = 194.442919999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44643635--0.44638841) × cos(0.88068010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636626817374781 × 6371000     		do = 194.44221680041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44643635--0.44638841) × cos(0.88064958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636650353248546 × 6371000     		du = 194.449405262071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88068010)-sin(0.88064958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636626817374781-0.636650353248546)×R²
    abs(-0.44638841--0.44643635)×2.35358737642466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35358737642466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35358737642466e-05×40589641000000     		ar = 37808.6112814565m²