Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56222 / 29917
↖ ↑ ↗
← N 69.445021°
W 25.581665°		 ← 107.21 m → N 69.445021°
W 25.578919°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
N 69.444056°
W 25.581665°		 ← 107.22 m →
11 496 m²		 N 69.444056°
W 25.578919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428943634033203 y=0.228252410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428943634033203 × 217)
    floor (0.428943634033203 × 131072)
    floor (56222.5)     		tx = 56222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228252410888672 × 217)
    floor (0.228252410888672 × 131072)
    floor (29917.5)     		ty = 29917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56222 / 29917 ti = "17/56222/29917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56222/29917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56222 ÷ 217
    56222 ÷ 131072     		x = 0.428939819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29917 ÷ 217
    29917 ÷ 131072     		y = 0.228248596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428939819335938 × 2 - 1) × π
    -0.142120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44648428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228248596191406 × 2 - 1) × π
    0.543502807617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.70746442756678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44648428} λ = -0.44648428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70746442756678))-π/2
    2×atan(5.5149601535041)-π/2
    2×1.39142029471189-π/2
    2.78284058942378-1.57079632675     		φ = 1.21204426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44648428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.581665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21204426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.445021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56222 KachelY 29917 -0.44648428 1.21204426 -25.581665 69.445021
    Oben rechts KachelX + 1 56223 KachelY 29917 -0.44643635 1.21204426 -25.578919 69.445021
    Unten links KachelX 56222 KachelY + 1 29918 -0.44648428 1.21202743 -25.581665 69.444056
    Unten rechts KachelX + 1 56223 KachelY + 1 29918 -0.44643635 1.21202743 -25.578919 69.444056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21204426-1.21202743) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21204426-1.21202743) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44648428--0.44643635) × cos(1.21204426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351106022550553 × 6371000     		do = 107.214447791328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44648428--0.44643635) × cos(1.21202743) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351121781030819 × 6371000     		du = 107.219259832852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21204426)-sin(1.21202743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351106022550553-0.351121781030819)×R²
    abs(-0.44643635--0.44648428)×1.57584802654154e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57584802654154e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57584802654154e-05×40589641000000     		ar = 11496.2124282963m²