Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56221 / 29614
↖ ↑ ↗
← N 69.735237°
W 25.584412°		 ← 105.79 m → N 69.735237°
W 25.581665°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 69.734286°
W 25.584412°		 ← 105.79 m →
11 188 m²		 N 69.734286°
W 25.581665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428936004638672 y=0.225940704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428936004638672 × 217)
    floor (0.428936004638672 × 131072)
    floor (56221.5)     		tx = 56221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225940704345703 × 217)
    floor (0.225940704345703 × 131072)
    floor (29614.5)     		ty = 29614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56221 / 29614 ti = "17/56221/29614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56221/29614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56221 ÷ 217
    56221 ÷ 131072     		x = 0.428932189941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29614 ÷ 217
    29614 ÷ 131072     		y = 0.225936889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428932189941406 × 2 - 1) × π
    -0.142135620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.44653222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225936889648438 × 2 - 1) × π
    0.548126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72198930815166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44653222} λ = -0.44653222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72198930815166))-π/2
    2×atan(5.59564886956237)-π/2
    2×1.39395290925451-π/2
    2.78790581850901-1.57079632675     		φ = 1.21710949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44653222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.584412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21710949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.735237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56221 KachelY 29614 -0.44653222 1.21710949 -25.584412 69.735237
    Oben rechts KachelX + 1 56222 KachelY 29614 -0.44648428 1.21710949 -25.581665 69.735237
    Unten links KachelX 56221 KachelY + 1 29615 -0.44653222 1.21709289 -25.584412 69.734286
    Unten rechts KachelX + 1 56222 KachelY + 1 29615 -0.44648428 1.21709289 -25.581665 69.734286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21710949-1.21709289) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21710949-1.21709289) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44653222--0.44648428) × cos(1.21710949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346358783029189 × 6371000     		do = 105.78688761212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44653222--0.44648428) × cos(1.21709289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346374355476711 × 6371000     		du = 105.791643838428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21710949)-sin(1.21709289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346358783029189-0.346374355476711)×R²
    abs(-0.44648428--0.44653222)×1.55724475218166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55724475218166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55724475218166e-05×40589641000000     		ar = 11188.1246384045m²