Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56220 / 16284
↖ ↑ ↗
← N 79.222814°
W 25.587158°		 ← 57.11 m → N 79.222814°
W 25.584412°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.222301°
W 25.587158°		 ← 57.11 m →
3 260 m²		 N 79.222301°
W 25.584412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428928375244141 y=0.124240875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428928375244141 × 217)
    floor (0.428928375244141 × 131072)
    floor (56220.5)     		tx = 56220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124240875244141 × 217)
    floor (0.124240875244141 × 131072)
    floor (16284.5)     		ty = 16284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56220 / 16284 ti = "17/56220/16284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56220/16284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56220 ÷ 217
    56220 ÷ 131072     		x = 0.428924560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16284 ÷ 217
    16284 ÷ 131072     		y = 0.124237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428924560546875 × 2 - 1) × π
    -0.14215087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44658016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124237060546875 × 2 - 1) × π
    0.75152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36098818008701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44658016} λ = -0.44658016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36098818008701))-π/2
    2×atan(10.6014223924967)-π/2
    2×1.47674763806791-π/2
    2.95349527613582-1.57079632675     		φ = 1.38269895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44658016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.587158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38269895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.222814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56220 KachelY 16284 -0.44658016 1.38269895 -25.587158 79.222814
    Oben rechts KachelX + 1 56221 KachelY 16284 -0.44653222 1.38269895 -25.584412 79.222814
    Unten links KachelX 56220 KachelY + 1 16285 -0.44658016 1.38268999 -25.587158 79.222301
    Unten rechts KachelX + 1 56221 KachelY + 1 16285 -0.44653222 1.38268999 -25.584412 79.222301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38269895-1.38268999) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38269895-1.38268999) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44658016--0.44653222) × cos(1.38269895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186990170226365 × 6371000     		do = 57.1116111141423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44658016--0.44653222) × cos(1.38268999) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186998972180451 × 6371000     		du = 57.1142994574823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38269895)-sin(1.38268999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186990170226365-0.186998972180451)×R²
    abs(-0.44653222--0.44658016)×8.80195408572981e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.80195408572981e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.80195408572981e-06×40589641000000     		ar = 3260.24507761676m²