Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5622 / 9768
↖ ↑ ↗
← S 32.694866°
W 56.469727°		 ← 2 056.16 m → S 32.694866°
W 56.447754°		 →
↑
2 055.92 m
↓
↑
2 055.92 m
↓
S 32.713355°
W 56.469727°		 ← 2 055.74 m →
4 226 873 m²		 S 32.713355°
W 56.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343170166015625 y=0.596221923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343170166015625 × 214)
    floor (0.343170166015625 × 16384)
    floor (5622.5)     		tx = 5622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596221923828125 × 214)
    floor (0.596221923828125 × 16384)
    floor (9768.5)     		ty = 9768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5622 / 9768 ti = "14/5622/9768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5622/9768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5622 ÷ 214
    5622 ÷ 16384     		x = 0.3431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9768 ÷ 214
    9768 ÷ 16384     		y = 0.59619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98558266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604388430409668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98558266} λ = -0.98558266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604388430409668))-π/2
    2×atan(0.54640849129458)-π/2
    2×0.500081633498619-π/2
    1.00016326699724-1.57079632675     		φ = -0.57063306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98558266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.469727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57063306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.694866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5622 KachelY 9768 -0.98558266 -0.57063306 -56.469727 -32.694866
    Oben rechts KachelX + 1 5623 KachelY 9768 -0.98519916 -0.57063306 -56.447754 -32.694866
    Unten links KachelX 5622 KachelY + 1 9769 -0.98558266 -0.57095576 -56.469727 -32.713355
    Unten rechts KachelX + 1 5623 KachelY + 1 9769 -0.98519916 -0.57095576 -56.447754 -32.713355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57063306--0.57095576) × R
    0.000322700000000009 × 6371000     		dl = 2055.92170000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57063306--0.57095576) × R
    0.000322700000000009 × 6371000     		dr = 2055.92170000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98558266--0.98519916) × cos(-0.57063306) × R
    0.000383500000000092 × 0.841559187018114 × 6371000     		do = 2056.16346811933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98558266--0.98519916) × cos(-0.57095576) × R
    0.000383500000000092 × 0.841384831985259 × 6371000     		du = 2055.73747021619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57063306)-sin(-0.57095576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841559187018114-0.841384831985259)×R²
    abs(-0.98519916--0.98558266)×0.000174355032855122×R²
    0.000383500000000092×0.000174355032855122×6371000²
    0.000383500000000092×0.000174355032855122×40589641000000     		ar = 4226873.22036687m²